Nhà thiết kế muốn trang trí một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm \(O\) bán kính 5 dm, phía trong được trang trí bởi hai hình chữ nhật \(ABCD\) và \(MNPQ\) có độ dài cạnh là \(AB = 2MN = 8\,{\rm{dm}}\) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh \(O\), trong đó hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) còn parabol nằm phía trên trục hoành đi qua các điểm \(A\), \(M\), \(Q\) và \(D\) (như hình vẽ). Hỏi diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu \({\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\)? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 34.

Gọi \(H = AB \cap Ox,E = MN \cap Ox\),

\(F = MQ \cap Oy,G = AD \cap Oy.\)

Phương trình đường tròn tâm \(O\) bán kính 5 dm là

\({x^2} + {y^2} = 25\quad \left( C \right).\)

Vì \(AB = 8 \Rightarrow AH = 4\)\( \Rightarrow \) Tung độ của điểm \(A\) là 4.

Thay \(y = 4\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ta được:

\({x^2} + 16 = 25 \Rightarrow x = - 3 \Rightarrow A\left( { - 3\,;4} \right) \Rightarrow D\left( {3\,;4} \right)\) (do \(D\) đối xứng với \(A\) qua Oy)

Gọi phương trình parabol đi qua các điểm \(A,O,D\) có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( P \right).\)

Thay tọa độ các điểm \(A,O,D\) vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 4\\9a - 3b + c = 4\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{4}{9}}\\\begin{array}{l}b = 0\\c = 0\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow y = \frac{{4{x^2}}}{9}\).

Vì \(MN = 4 \Rightarrow ME = 2\)\( \Rightarrow \) Tung độ của điểm \(M\) là 2.

Thay \(y = 2\) vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được: \(4{x^2} = 18 \Rightarrow x = \frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2};2} \right)\).

Phương trình của đường tròn tâm \(O\) bán kính 5 dm trong góc phần tư thứ II là \(y = \sqrt {25 - {x^2}} .\)

Ta ký hiệu:

Diện tích giới hạn bởi đường tròn tâm \(O\) và đoạn AL là \({S_1}.\)

Diện tích giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), đường thẳng \(y = 0,x = - 3,x = \frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}{\rm{ l\`a }}{S_2}{\rm{. }}\)

Diện tích giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), đoạn MF, đường thẳng \(x = 0\) là \({S_3}.\)

Diện tích \(\Delta AKG\) là \({S_4}.\)

Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\sqrt {25 - {x^2}} {\rm{d}}x} - {S_{\Delta AHL}} = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\sqrt {25 - {x^2}} {\rm{d}}x} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\)\( = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\sqrt {25 - {x^2}} {\rm{d}}x} - 4\).

 \({S_2} = \int\limits_{ - 3}^{\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{4{x^2}}}{9}{\rm{d}}x} \).

\[{S_3} = {S_{MFOE}} - \int\limits_{\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{4{x^2}}}{9}{\rm{d}}x} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \cdot 2 - \int\limits_{\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{4{x^2}}}{9}{\rm{d}}x} \]\( = 3\sqrt 2 - \int\limits_{\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{4{x^2}}}{9}{\rm{d}}x} \).

 \({S_4} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}.\)

Ta bấm máy tính thì được diện tích phần tô đậm là: \(S = 4 \cdot \left( {{S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}} \right) \approx 34\).