Sử dụng thông tin dưới đây để trả lời câu 11 và câu 12

Cho \(F\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\) và \(G\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) lần lượt là một nguyên hàm của các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 0,x = 1\) bằng     

a) Sai. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)

b) Đúng. Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a\,;0\,;0} \right),B\left( {0\,;a\,;0} \right),A\left( { - a\,;0\,;0} \right),S\left( {0\,;0\,;2a} \right)\).

c) Đúng. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,S\) là

\(\left( {SAB} \right):\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2x - 2y - z + 2a = 0.\)

Suy ra, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \(\vec n = \left( {2\,; - 2\,; - 1} \right)\).

d) Sai. Khoảng cách từ điểm \(C\left( {a\,;0\,;0} \right)\) đến \(\left( {SAB} \right):2x - 2y - z + 2a = 0\) là

\[d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}\].

a) Đúng. Phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(y = ax + b\) đi qua 2 điểm \(B\left( { - 13,4\,;\,3} \right)\) và \(C\left( {0\,;4,5} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{15}}{{134}}}\\{b = 4,5}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + 4,5.\)

b) Đúng. Phương trình đường tròn tâm \(O\left( {0\,;0} \right)\) bán kính \(OC = 4,5\,\;{\rm{cm}}\) là \({x^2} + {y^2} = {4,5^2}\).

Do đường tròn đi qua điểm \(D\left( {{x_0}\,;\,1} \right)\) nên \({x_0}^2 + {1^2} = {4,5^2} \Rightarrow {x_0} = \frac{{\sqrt {77} }}{2}\).

Vậy toạ độ điểm \(D\) là \(D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2}\,;\,1} \right)\).

c) Đúng. Thể tích bên trong ly không bao gồm nắp là

\(\pi {\int\limits_{ - 13,4}^0 {\left( {\frac{{15}}{{134}}x + 4,5} \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 600\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 600\,\,{\rm{ml}}.\)

d) Đúng. Đường tròn nắp ly có phương trình \({x^2} + {y^2} = {4,5^2} \Rightarrow y = \pm \sqrt {20,25 - {x^2}} .\)

Ta xét phần dương của nắp ly, ta có \(y = \sqrt {20,25 - {x^2}} .\)

Thể tích nắp ly là: \(\pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {20,25 - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x\).

Vậy thể tích bên trong ly bao gồm cả thể tích nắp là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + 4,5} \right)}^2}} {\rm{d}}x + \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {20,25 - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x \approx 790,6\,\,{\rm{ml}}\).