PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.

F Gọi A là biến cố: “Viên bi được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là viên bi xanh”.

F Gọi B là biến cố: “Hai viên bi được lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp thứ hai là bi xanh”.

a) Đúng. \(P\left( {B\mid A} \right)\) là xác suất lấy được hai viên bi xanh từ hộp thứ hai khi biết viên bi được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là viên bi xanh. Khi đó, hộp thứ hai có tổng cộng 11 viên bi, trong đó có 4 viên bi xanh, nên \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{6}{{55}}.\)

b) Đúng. Ta có \(P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{3}{{55}}\) (Vì ta sẽ chuyển 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai nên hộp thứ hai có tổng cộng 11 viên với 3 viên bi xanh).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_9^1}} = \frac{1}{3};P\left( {\bar A} \right) = \frac{2}{3};\,P\left( {B\mid A} \right) = \frac{6}{{55}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, suy ra xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi xanh là \[P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right)\]\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{55}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{{55}} = \frac{4}{{55}}.\)

c) Sai. Áp dụng công thức Bayes, ta có \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{55}}}}{{\frac{4}{{55}}}} = \frac{1}{2}.\)

d) Sai. Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}.\)

Do đó, ta cần đi tìm các dữ kiện còn thiếu ở đây là \(P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)\) và \(P\left( {\bar B} \right)\).

Ta có \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{4}{{55}} = \frac{{51}}{{55}}\) (theo tính chất của xác suất).

Lại có \(P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - \frac{3}{{55}} = \frac{{52}}{{55}}.\)

Suy ra \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{52}}{{55}}}}{{\frac{{51}}{{55}}}} = \frac{{104}}{{153}}.\)