Nhân dịp ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, thầy Duy tổ chức một trò chơi và phần thưởng dành cho các bạn học sinh trong lớp 12A khi có kết quả đúng là một cuốn sách đề ôn thi. Trò chơi như sau: thầy Duy phát cho mỗi bạn một cây kéo và một tấm vải hình tam giác có độ dài ba cạnh là \(50\;\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\,\,50\,\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\,\,80\;\,{\rm{cm}}\); từ tấm vải đó mỗi bạn phải cắt một hình chữ nhật với hai đỉnh nằm trên hai cạnh bên và hai đỉnh còn lại nằm trên cạnh đáy sao cho hình chữ nhật cắt ra có diện tích lớn nhất bằng \(a\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\) (xem hình minh hoạ).

 

Vậy để nhận được thưởng thì giá trị \(a\) mà các bạn cần tính bằng bao nhiêu?

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ với tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì máy cắt chạy trong 1 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ với tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6 giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4 giờ/ngày. Số tiền lãi nhiều nhất của xưởng trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

Thiết kế đường cao tốc một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi có độ dốc 6% và 4% sẽ được xây dựng giữa hai điểm cách nhau theo chiều ngang là 2 000 feet (xem hình vẽ). Trong hệ toạ độ Oxy (đơn vị mỗi trục là feet (ft)) quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có chọn hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị hàm số đó trên đoạn \(\left[ { - 1000\,;1000} \right]\) mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế.Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại A và tại B của đồ thị hàm số đó lần lượt bằng \( - 0,06\) và 0,04. Giả sử bằng cách đo đạc ta có \(A\left( { - 1000\,;60} \right),B\left( {1000\,;90} \right)\) (hình vẽ). Hỏi giao điểm của đường cao tốc với trục Oy cách trục Ox bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (biết feet là đơn vị đo độ dài và 1 feet = 0,3408 mét).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0.\) Xét các mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Biết rằng mặt phẳng \(\left( P \right)\) luôn đi qua điểm \(A\left( {a\,;b\,;c} \right)\). Tính tổng \(S = a + b + c.\)

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ bên). Mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\ln ^2}x\).