Có một chiếc lồng bằng sắt dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2\;{\rm{m}}\), \(AD = 3\;\,{\rm{m}},AA' = 1\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Người thợ hàn muốn hàn một thanh sắt MN nối hai đoạn AD và \(BD'\) (minh hoạ như hình vẽ). Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, với gốc toạ độ O trùng với điểm D, điểm A thuộc tia \(Ox\), điểm C thuộc tia \(Oy\) và điểm \(D'\) thuộc tia \(Oz\) (đơn vị mỗi trục là mét). 

a) Đúng. Ta có \(AD = 3,DC = 2,DD' = 1\)\( \Rightarrow A\left( {3\,;0\,;0} \right),B\left( {3\,;2\,;0} \right),D'\left( {0\,;0\,;1} \right)\).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {D'B} = \left( {3\,;2\,; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BD'\).

Vậy phương trình đường thẳng \(BD'\) là \(\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

c) Đúng. Ta có MN ngắn nhất \( \Leftrightarrow MN = d\left( {AD,BD'} \right)\).

Có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {BCD'} \right) \Rightarrow d\left( {AD,BD'} \right) = d\left( {D,\left( {BCD'} \right)} \right)\).

Cách 1. Lập được phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\): \(y + 2z - 2 = 0\).

Khi đó, \(d\left( {AD,BD'} \right) = d\left( {D,\,\left( {BCD'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = 0,89\).

Cách 2. Kẻ \(DE \bot D'C\).

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot DD'}\\{BC \bot DC}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {DD'C} \right)} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot DE \Rightarrow DE \bot \left( {BCD'} \right)\)\( \Rightarrow DE = d\left( {D,\left( {BCD'} \right)} \right)\).

Xét \(\Delta DD'C\) vuông tại \(D\) có:

 \(\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{{D'}^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow DE = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \approx 0,89 \Rightarrow MN = 0,89\).

d) Sai. Kẻ \(EN{\rm{//}}BC\). Lấy điểm \(M\) trên AD sao cho \(DM = EN\).

Suy ra tứ giác DENM là hình bình hành \( \Rightarrow MN = DE\).

Kẻ \(NH{\rm{//}}DD'\) cắt DB tại \(H\).

Do \(DD' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow NH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vậy cao độ của điểm \(N\) là NH.

Ta có \(D'E = \sqrt {D{{D'}^2} - D{E^2}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow D'E = \frac{1}{5}D'C\).

Xét \(\Delta BCD'\) có: \[EN{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{D'N}}{{D'B}} = \frac{{D'E}}{{D'C}} = \frac{1}{5}\].

Xét \(\Delta BDD'\) có: \(NH{\rm{//}}DD'\)\( \Rightarrow \frac{{NH}}{{DD'}} = \frac{{BN}}{{D'B}} = 1 - \frac{{D'N}}{{D'B}} = \frac{4}{5}\)\( \Rightarrow NH = 0,8\).