Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 36 = 0\) và điểm \(N\left( {3\,;3\,;3} \right)\). Từ một điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) kẻ các tiếp tuyến phân biệt MA, MB, MC đến \(\left( S \right),\,\,(A,B,C\) là các tiếp điểm). Khi khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng là \(ax + 2y + bz + c = 0\). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 36 = 0\) và điểm \(N\left( {3\,;3\,;3} \right)\). Từ một điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) kẻ các tiếp tuyến phân biệt MA, MB, MC đến \(\left( S \right),\,\,(A,B,C\) là các tiếp điểm). Khi khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng là \(ax + 2y + bz + c = 0\). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 19) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: −4.
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0\) có \(I\left( {0\,;0\,;0} \right),\,\,R = 6.\)
Giả sử \(M\left( {m\,;n\,;t} \right)\) thay đổi trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow 2m + n + 2t - 36 = 0\).
Vì các tiếp tuyến phân biệt MA, MB, MC đến \(\left( S \right)\).
\( \Rightarrow A,B,C\) luôn nhìn IM dưới một góc vuông.
\( \Rightarrow \) Luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp các điểm A, B, C, I, M có tâm là trung điểm IM.
Gọi \(K\) là trung điểm IM \( \Rightarrow K\left( {\frac{m}{2};\frac{n}{2};\frac{t}{2}} \right),\,\,R' = IK = KM = \sqrt {\frac{{{m^2}}}{4} + \frac{{{n^2}}}{4} + \frac{{{t^2}}}{4}} \).
Phương trình mặt cầu:
\(\left( {S'} \right):{\left( {x - \frac{m}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{n}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{t}{2}} \right)^2} = \frac{{{m^2}}}{4} + \frac{{{n^2}}}{4} + \frac{{{t^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xm - yn - zt = 0\).
Dễ dàng thấy được mặt cầu \(\left( S \right) \cap \left( {S'} \right) = \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 36 = 0}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xm - yn - zt = 0}\end{array} \Rightarrow \left( {ABC} \right):xm + yn + zt - 36 = 0} \right.\).
Ta có mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(T\left( {2\,;1\,;2} \right).\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\left( {3\,;3\,;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow NH \le NT\).
Vậy khoảng cách từ \(N\left( {3\,;3\,;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất
\( \Leftrightarrow {d_{\left( {N,\left( {ABC} \right)} \right)}} = NT \Rightarrow {\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {TN} = \left( {1\,;2\,;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(x + 2y + z - 6 = 0\).
Khi đó, \(a + b + c = 1 + 1 - 6 = - 4\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đúng. Dựa theo đồ thị ta thấy, quãng đường chất điểm di chuyển được trong 3 giây đầu tiên là \({S_1} = 11 \cdot 3 = 33\,\,{\rm{(m)}}.\)
b) Sai. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm C, D có dạng \(y = ax + b\,\,\,\left( d \right).\)
Thay tọa độ 2 điểm C, D vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8a + b = 21}\\{15a + b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3}\\{b = 45}\end{array} \Rightarrow y = - 3x + 45} \right.} \right.\).
Quãng đường chất điểm đi được trong 7 giây cuối là \(\int\limits_8^{15} {\left( { - 3x + 45} \right){\rm{d}}x} = \frac{{147}}{2}\;\,\,{\rm{(m)}}\).
c) Sai. Phương trình parabol \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm A, B, C có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( P \right)\).
Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9a + 3b + c = 11}\\{25a + 5b + c = 3}\\{64a + 8b + c = 21}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - 20}\\{c = 53}\end{array} \Rightarrow y = 2{x^2} - 20x + 53} \right.} \right.\).
Quãng đường chất điểm đi được từ giây thứ 3 đến giây thứ 8 là
\(\int\limits_3^8 {\left( {2{x^2} - 20x + 53} \right){\rm{d}}x} = \frac{{115}}{3} \approx 38,3\;\,{\rm{(m)}}\).
d) Đúng. Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng 15 giây chuyển động trên là:
\(\frac{{33 + \frac{{147}}{2} + \frac{{115}}{3}}}{{15}} \approx 9,66\,\,{\rm{(m/s)}}\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 5\) có \(y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2.\)
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A\left( {0\,;5} \right),B\left( {2\,;9} \right)\) và \(OA = 5\), \[h\left( {B,OA} \right) = \left| {{x_B}} \right| = 2\].
Diện tích của tam giác OAB là \(S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5.\) Chọn C.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập