Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn \(200\,{\rm{m}}\), tốc độ của ô tô là \(36\,{\rm{km/h}}\). Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right) = at + b\) \(\left( {a,b \in \mathbb{R},a > 0} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau \(12\) giây và duy trì sự tăng tốc trong \(24\) giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau \(24\) giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong \(24\) giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Đáp án: 253.

Ta có chi phí \[H\left( {200} \right) = 35\,950\,000\];

\[H\left( {x - 200} \right) = 2{\left( {x - 200} \right)^3} + 100000\left( {x - 200} \right) - 50000,\,v\'i i\,400 \ge x > 200\].

Ta có lợi nhuận thu được tính như sau:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) - xG\left( x \right) - \frac{{99}}{{100}} \cdot H\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 200\\F\left( x \right) - xG\left( x \right) - \frac{{99}}{{100}} \cdot H\left( {200} \right) - \frac{{98}}{{100}} \cdot H\left( {x - 200} \right)\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,200 < x \le 400\end{array} \right.\)

\[ = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - \frac{{100000{x^2}}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 0,99\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right),\,{\rm{khi}}\,0 \le x \le 200\\{x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - \frac{{100000{x^2}}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 0,99H\left( {200} \right) - 0,98H\left( {x - 200} \right),{\rm{khi}}\,200 < x \le 400\end{array} \right.\]

* Xét trường hợp khi \[0 \le x \le 200\]:

          \[f\left( x \right) = - 0,98{x^3} - 1999{x^2} + 902000x + 299500 - \frac{{200000{x^2}}}{{3x + 2}}\]

            \[ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 26,46{x^4} - 36017,28{x^3} + 8070912,24{x^2} + 10080008x + 3608000}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\]

            \[ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \approx 196,98\].

BBT:

* Xét trường hợp khi \[200 < x \le 400\]:

                      \[f\left( x \right) = - 0,96{x^3} - 823{x^2} + 667800x - 11500 - \frac{{200000{x^2}}}{{3x + 2}}\]

                     \[ \Rightarrow f'\left( x \right) = - 2,88{x^2} - 1646x + 667800 - \frac{{600000{x^2} + 800000x}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\]

                     \[ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \approx 253,11\].  

BBT:

Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ BBT trên ta so sánh \[f\left( {253} \right)\] và \[f\left( {254} \right)\].

Ta có: \[f\left( {253} \right) \approx 83893648,05\] và \[f\left( {254} \right) \approx 83892445,32\].

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 253 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {12;0; - 12} \right) = 12\left( {1;0; - 1} \right).\)

Xét đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(N\left( {12;5;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(MN:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + t\\y = 5\\z = - t\end{array} \right..\)

Gọi điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(MN\). Ta có \(H\left( {12 + t;5; - t} \right)\).

\(OH \bot MN \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow u = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {12 + t} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 0 + \left( { - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 12 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = - 6\).

Do đó, \(H\left( {6;5;6} \right)\). Thiên thạch gần Trái Đất nhất khi thiên thạch đi qua \(H\).

Khoảng cách gần nhất của thiên thạch với Trái Đất là:

\(d = 1\,000OH - 6\,400 = 1\,000\sqrt {{6^2} + {5^2} + {6^2}} - 6\,400 \approx 3\,449\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)

b) Sai. Từ vị trí \(M\) thiên thạch đổi hướng lao xuống Trái Đất theo phương thẳng thì tại vị trí phương thẳng tiếp xúc với Trái Đất (phương thẳng là tiếp tuyến với Trái Đất) quãng đường dài nhất thiên thạch có thể va chạm với Trái Đất bằng quãng đường \(ME\).

Ta có tam giác \(OME\) vuông tại \(E\), có \(OE = 6,4;OM = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13\).

Khi đó, \(ME = \sqrt {O{M^2} - O{E^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{6,4}^2}} \approx 11,315\).

Nên quãng đường dài nhất xấp xỉ bằng: \(1000 \cdot 11,315 = 11315\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

c) Sai.

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) là \(\left( P \right):x - z = 0 \Rightarrow O,A,B \in \left( P \right)\).

Do đó các vệ tinh \(A,B\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm quay quanh các đường tròn tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \({R_1} = OA = \sqrt {97} ,{R_2} = OB = \sqrt {134} \).

Khoảng cách giữa hai vệ tinh lớn nhất khi \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\).

Khoảng cách xa nhất của 2 vệ tinh có thể đạt được là:

\(\left( {{R_1} + {R_2}} \right)1\,000 = \left( {\sqrt {97} + \sqrt {134} } \right)1000 \approx 21425\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

d) Đúng. Để thiên thạch và vệ tinh \(A\) va chạm vào nhau thì chúng va chạm tại điểm \(H\left( {6;5;6} \right)\) là giao của \(MN\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) vì vệ tinh \(A\) di chuyển trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Ta có \(MH = 1000\sqrt {{{\left( {0 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {12 - 6} \right)}^2}} = 6000\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Thời gian để thiên thạch đi hết quãng đường \(MH\) là: \({t_1} = \frac{{MH}}{{{v_1}}} = \frac{{6000\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 \cdot {{10}^3}}} = 3\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).

Ta có \(O\) là trung điểm của \(AH\). Nên quãng đường vệ tinh di chuyển từ \(A\) đến \(H\) bằng nửa chu vi đường tròn bán kính \(OA\) và bằng: \(l = \pi \cdot OA \cdot 1000 = 1000\pi \sqrt {97} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Thời gian để vệ tinh di chuyển từ \(A\) đến \(H\): \({t_2} = \frac{l}{{{v_2}}} = \frac{{1000\pi \sqrt {97} }}{{\frac{{\pi \sqrt {97} }}{3} \cdot {{10}^3}}} = 3\,\left( {\rm{h}} \right)\).

Suy ra \({t_1} = {t_2} = 3\,\left( {\rm{h}} \right)\) do đó thiên thạch và vệ tinh \(A\) va chạm với nhau.