Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ Nasa đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không quá 4 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian có gốc \(O\) là tâm Trái Đất và đơn vị độ dài mỗi trục tọa độ là 1 000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ \({v_1} = 2\sqrt 2 \cdot {10^3}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm \(M\left( {0;5;12} \right)\) đến \(N\left( {12;5;0} \right).\)

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {12;0; - 12} \right) = 12\left( {1;0; - 1} \right).\)

Xét đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(N\left( {12;5;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(MN:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + t\\y = 5\\z = - t\end{array} \right..\)

Gọi điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(MN\). Ta có \(H\left( {12 + t;5; - t} \right)\).

\(OH \bot MN \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow u = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {12 + t} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 0 + \left( { - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 12 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = - 6\).

Do đó, \(H\left( {6;5;6} \right)\). Thiên thạch gần Trái Đất nhất khi thiên thạch đi qua \(H\).

Khoảng cách gần nhất của thiên thạch với Trái Đất là:

\(d = 1\,000OH - 6\,400 = 1\,000\sqrt {{6^2} + {5^2} + {6^2}} - 6\,400 \approx 3\,449\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)

b) Sai. Từ vị trí \(M\) thiên thạch đổi hướng lao xuống Trái Đất theo phương thẳng thì tại vị trí phương thẳng tiếp xúc với Trái Đất (phương thẳng là tiếp tuyến với Trái Đất) quãng đường dài nhất thiên thạch có thể va chạm với Trái Đất bằng quãng đường \(ME\).

Ta có tam giác \(OME\) vuông tại \(E\), có \(OE = 6,4;OM = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13\).

Khi đó, \(ME = \sqrt {O{M^2} - O{E^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{6,4}^2}} \approx 11,315\).

Nên quãng đường dài nhất xấp xỉ bằng: \(1000 \cdot 11,315 = 11315\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

c) Sai.

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) là \(\left( P \right):x - z = 0 \Rightarrow O,A,B \in \left( P \right)\).

Do đó các vệ tinh \(A,B\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm quay quanh các đường tròn tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \({R_1} = OA = \sqrt {97} ,{R_2} = OB = \sqrt {134} \).

Khoảng cách giữa hai vệ tinh lớn nhất khi \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\).

Khoảng cách xa nhất của 2 vệ tinh có thể đạt được là:

\(\left( {{R_1} + {R_2}} \right)1\,000 = \left( {\sqrt {97} + \sqrt {134} } \right)1000 \approx 21425\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

d) Đúng. Để thiên thạch và vệ tinh \(A\) va chạm vào nhau thì chúng va chạm tại điểm \(H\left( {6;5;6} \right)\) là giao của \(MN\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) vì vệ tinh \(A\) di chuyển trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Ta có \(MH = 1000\sqrt {{{\left( {0 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {12 - 6} \right)}^2}} = 6000\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Thời gian để thiên thạch đi hết quãng đường \(MH\) là: \({t_1} = \frac{{MH}}{{{v_1}}} = \frac{{6000\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 \cdot {{10}^3}}} = 3\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).

Ta có \(O\) là trung điểm của \(AH\). Nên quãng đường vệ tinh di chuyển từ \(A\) đến \(H\) bằng nửa chu vi đường tròn bán kính \(OA\) và bằng: \(l = \pi \cdot OA \cdot 1000 = 1000\pi \sqrt {97} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Thời gian để vệ tinh di chuyển từ \(A\) đến \(H\): \({t_2} = \frac{l}{{{v_2}}} = \frac{{1000\pi \sqrt {97} }}{{\frac{{\pi \sqrt {97} }}{3} \cdot {{10}^3}}} = 3\,\left( {\rm{h}} \right)\).

Suy ra \({t_1} = {t_2} = 3\,\left( {\rm{h}} \right)\) do đó thiên thạch và vệ tinh \(A\) va chạm với nhau.