Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi \(M\) là điểm nằm trên đoạn \(SD\) sao cho \(SM = 2MD\). Giá trị tan của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là:    

Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng \(2\,{\rm{m}}\). Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng \(x\) (mét) với \(0 < x < \frac{2}{3}\). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được một hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối \({\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \[300\] sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \[x\] sản phẩm \[\left( {1 \le x \le 300} \right)\] thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \[F\left( x \right) = - 2{x^2} + 1312x\] (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \[G\left( x \right) = {x^2} - 77x + 1000 + \frac{{40000}}{x}\] (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) và một điểm \(M\left( {2;\,3;\,1} \right)\). Từ \(M\) kẻ được vô số các tiếp tuyến tới \(\left( S \right)\), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn \(\left( C \right)\). Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\). Tính \(T = 1000\sqrt 3 r\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( { - 1;1;1} \right),C\left( { - 3; - 3;4} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\]. Điểm \(M\) thay đổi trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Khi biểu thức \[T = - 3{\left( {\frac{{MA}}{{MD}}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{{MB}}{{MD}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{MC}}{{MD}}} \right)^2}\] đạt giá trị lớn nhất thì hoành độ của điểm \(M\) bằng bao nhiêu?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn \(140\) m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn \(7\,500\,000\) km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá \(6\,630\)km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(6\,370\) km.