Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh \(90\,{\rm{cm}}\). Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).

Đáp án: \(3\).

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí \(A,B\). Ta có \(A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)\).

Khi đó \(I = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) là vị trí cần tìm.

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)\), \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)\)

\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI} \) cùng phương nên \(\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3\).

Đáp án: \(3,74\)

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình của nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = 20\,,\,y \ge 0 \Rightarrow y = \sqrt {20 - {x^2}} \).

Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(O\left( {0\,;\,0} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {2\,;\,4} \right)\)nên có phương trình: \(y = {x^2}\).

Diện tích phần tô màu là: \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \approx 11,94\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích phần không tô màu là: \({S_2} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - {S_1} \approx 10\pi - 11,94\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó là:

\[150\,000 \cdot 11,94 + 100\,000 \cdot \left( {10\pi - 11,94} \right) \approx 3\,\,738\,\,593\] (đồng).

Làm tròn thành \(3,74\) triệu đồng.