Trong không gian hệ trục tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng \(d\) có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-200+80t\\ z=10\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

Đáp án: 718.

Đặt \(BX = x\left( {{\rm{\;km}}} \right)\), ta có: \(AX = 0,8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\); \(XC = \sqrt {{{\left( {0,4} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {0,16 + {x^2}} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right){\rm{.\;}}\)

Xét hàm số: \(T\left( x \right) = \frac{{0,8 - x}}{{30}} + \frac{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}{6} = \frac{1}{{30}}\left( {0,8 - x + 5\sqrt {0,16 + {x^2}} } \right)\,\,\,\left( {0 \le x < 0,8} \right).\)

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\left( { - 1 + \frac{{5x}}{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}} \right),T'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt {0,16 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế phương trình ta được \(0,16 + {x^2} = 25{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Vì \(0 \le x < 0,8\) nên \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) là:

Vậy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(T\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{30}}} \right)\) khi \(AX = 0,8 - \frac{{\sqrt 6 }}{{30}} \approx 0,718\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 718\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

a) Đúng. Do chất điểm \(A\) chuyển động trước chất điểm \(B\) 10 giây nên thời gian chất điểm \(A\) đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là 25 giây.

Quãng đường chất điểm \(A\) đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là

\(S = \int\limits_0^{25} {\left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t} \right){\rm{d}}t = \frac{{375}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)} \).

b) Đúng. Vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm \(t\left( {\rm{s}} \right)\) tính từ lúc \(B\) xuất phát là

\({v_B}\left( t \right) = {v_B}\left( 0 \right) + at = 0 + at = at\).

c) Sai. Quãng đường chất điểm \(B\) đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là

\(S = \int\limits_0^{15} {\left( {at} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{{a{t^2}}}{2}} \right|_0^{15} = \frac{{225}}{2}a\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng. Khi \(B\) đuổi kịp \(A\) ta có \(\frac{{225}}{2}a = \frac{{375}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}\).

Vậy vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là \({v_B}\left( {15} \right) = 15a = 15.\frac{5}{3} = 25\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).