Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng \(400\,{\rm{m}}\), dài \(800\,{\rm{m}}\).

Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm \(A\), chạy đến điểm \(X\) và bơi từ điểm \(X\)đến điểm \(C\) như hình bên. Hỏi nên chọn điểm \(X\)cách \(A\) gần bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến \(C\) nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là \(30\) km/h, vận tốc bơi là \(6\) km/h.

a) Đúng. Ranh giới vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu là mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 600\)km.

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\).

b) Sai. Thay \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 200 + 80t\\z = 10\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) vào \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\), ta được:

\({\left( { - 1000 + 100t} \right)^2} + {\left( { - 200 + 80t} \right)^2} + {10^2} = {600^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx 10\) hoặc \(t \approx 4,15\).

Với \(t \approx 10\), ta có \(B\left( {0;\,600;\,10} \right)\).

Với \(t \approx 4,15\), ta có \(C\left( { - 585;132;10} \right)\).

Có \(B\) và \(C\) là các vị trí mà máy bay xuất hiện và ra khỏi màn hình của đài kiểm soát không lưu.

Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là

\(BC = \sqrt {{{\left( { - 585 - 0} \right)}^2} + {{\left( {132 - 600} \right)}^2} + {{\left( {10 - 10} \right)}^2}} \approx 749\) km.

c) Đúng. Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(H\left( { - 292,5;\,\,366;\,\,10} \right)\) và \(OH \bot BC\).

Khi đó, \(H\) là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

d) Đúng. Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là \(OH\).

Ta có \(OH = \sqrt {{{\left( { - 292,5} \right)}^2} + {{366}^2} + {{10}^2}} \approx 469\) (km).

a) Đúng. Do chất điểm \(A\) chuyển động trước chất điểm \(B\) 10 giây nên thời gian chất điểm \(A\) đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là 25 giây.

Quãng đường chất điểm \(A\) đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là

\(S = \int\limits_0^{25} {\left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t} \right){\rm{d}}t = \frac{{375}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)} \).

b) Đúng. Vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm \(t\left( {\rm{s}} \right)\) tính từ lúc \(B\) xuất phát là

\({v_B}\left( t \right) = {v_B}\left( 0 \right) + at = 0 + at = at\).

c) Sai. Quãng đường chất điểm \(B\) đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là

\(S = \int\limits_0^{15} {\left( {at} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{{a{t^2}}}{2}} \right|_0^{15} = \frac{{225}}{2}a\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng. Khi \(B\) đuổi kịp \(A\) ta có \(\frac{{225}}{2}a = \frac{{375}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}\).

Vậy vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là \({v_B}\left( {15} \right) = 15a = 15.\frac{5}{3} = 25\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).