Một cáp treo xuất phát từ điểm \[A\left( {10;3;0} \right)\] và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\] với tốc độ là \[4,5\](m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét) được mô hình hoá như các hình vẽ sau:

Đáp án: \(7,2\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\).

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {8;0} \right)\) nên

\({x^2} + bx + c = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right) = {x^2} - 9x + 8\).

Suy ra \(y = \frac{{{x^2} - 9x + 8}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {2x - 9} \right)\left( {dx + e} \right) - d\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\).

Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {6;5} \right)\) nên suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 6 \right) = 0\\y\left( 6 \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6d + e} \right) + 10d = 0\\\frac{{ - 10}}{{6d + e}} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}28d + 3e = 0\\30d + 5e = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \frac{3}{5}\\e = - \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của hàm số là: \(y = \frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}}\).

Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm \(\left( {6;5} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tìm nghiệm \(x > 6\) của phương trình

\(\frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}} = 3,875 \Leftrightarrow 5{x^2} - 56,625x + 148,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7,2\\x = 4,125\,\,\,(L)\end{array} \right.\).

Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất \(3875\,\,{\rm{m}}\) thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km.

Đáp án: \(0,55\).

Gọi \(A\) là biến cố: “An lấy ra viên bi màu xanh”.

Khi đó \(\left\{ {A;\bar A} \right\}\) là một hệ đầy đủ các biến cố với \(P\left( A \right) = \frac{2}{3};\,\,P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}\).

Gọi \(B\) là biến cố: “Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu”.

Ta có \(P\left( {B|A} \right)\) chính là xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{14}^2 - C_9^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{55}}{{91}}\).

Tương tự \(P\left( {B|\bar A} \right)\) chính là xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_{14}^3 - C_4^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{90}}{{91}}\].

Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}}}}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{90}}{{91}}}} = \frac{{11}}{{20}} = 0,55\).