Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {8;0} \right)\) với đơn vị trên hệ trục tọa độ là kilômét. Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm \(\left( {6;5} \right)\). Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất \(3875\,\,{\rm{m}}\) thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu kilômét?

Đáp án: \(0,55\).

Gọi \(A\) là biến cố: “An lấy ra viên bi màu xanh”.

Khi đó \(\left\{ {A;\bar A} \right\}\) là một hệ đầy đủ các biến cố với \(P\left( A \right) = \frac{2}{3};\,\,P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}\).

Gọi \(B\) là biến cố: “Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu”.

Ta có \(P\left( {B|A} \right)\) chính là xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{14}^2 - C_9^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{55}}{{91}}\).

Tương tự \(P\left( {B|\bar A} \right)\) chính là xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_{14}^3 - C_4^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{90}}{{91}}\].

Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}}}}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{90}}{{91}}}} = \frac{{11}}{{20}} = 0,55\).

Đáp án: \(1,15\).

Do đồ thị của \(f\left( x \right) = {a^x}\) và \(g\left( x \right) = {\log _b}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x \Rightarrow a = b\).

Mặt khác đồ thị của \(y = {\log _b}x\) đi qua điểm \(C\left( {3;2} \right) \Rightarrow b = \sqrt 3 \).

Hai hàm số là \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) và \(g\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\).

Đồ thị của \(f\left( x \right)\) cắt \(y = 2\) tại điểm \(\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}2;\,2} \right)\) và đồ thị của \(g\left( x \right)\) cắt \(y = - 2\) tại \(\left( {\frac{1}{3}; - 2} \right)\).

Diện tích của miền \({H_1}\) là: \({S_1} = \int\limits_{ - 3}^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2} {\left( {2 - {{\sqrt 3 }^x}} \right){\rm{d}}x \approx 5,233} \) (m²).

Diện tích của miền \({H_3}\) là: \({S_3} = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x + 2} \right){\rm{d}}x} \approx 7,145\) (m²).

Diện tích của miền \({H_2}\) là: \({S_2} \approx 6 \times 4 - 5,233 - 7,145 = 11,622\) (m²).

Vậy cần dùng 2 hộp sơn màu xanh da trời, 3 hộp sơn màu xanh lá cây và 4 hộp sơn màu vàng.

Số tiền bạn Hà cần dùng mua sơn là:

\(T = 100\,000 \times 2 + 130\,000 \times 3 + 140\,000 \times 4 = 1\,150\,000\) (đồng) \( = 1,15\) (triệu đồng).