Một công ty tiến hành khai thác \(15\) giếng dầu trong khu vực được chỉ định. Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất được \(231\)thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn \(15\) giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày sẽ giảm \(7\) thùng. Để giám đốc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp, hãy chỉ ra số giếng công ty khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất lớn nhất.

Đáp án: 118.

Ta gọi số của 3 người trong một nhóm lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\)(\(a,b,c \in \mathbb{N}*\)\(1 \le a < b < c \le 100\)).

Ta có: \(a + b + c = 100\) với điều kiện (do mỗi thẻ ghi một số khác nhau và việc lập nhóm không phân biệt thứ tự từng người).

Vì \(a < b < c\) nên ta có bất đẳng thức:

\[a + \left( {a + 1} \right) + \left( {a + 2} \right) \le a + b + c\]\[ \Leftrightarrow 3a + 3 \le 100\]\[ \Leftrightarrow 3a \le 97\]\[ \Rightarrow a \le 32\]

Vậy \[a\] nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32.

Với một giá trị \[a\] cho trước, ta có \(b + c = 100 - a\).

Vì \(b < c\) nên \(b + b < b + c \Rightarrow 2b < 100 - a \Rightarrow b < \frac{{100 - a}}{2}\)

Mặt khác, vì \(a < b\) nên \(a + 1 \le b\). Kết hợp điều kiện ở trên ta được: \(a + 1 \le b < \frac{{100 - a}}{2}\)

TH1: \[a\] là số lẻ

Đặt \[a = 2k - 1\] với \[k \in {\mathbb{N}^*}\].

Vì \(1 \le a \le 31\) nên \(1 \le 2k - 1 \le 31 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \[a = 2k - 1\] vào bất phương trình của \[b\]:

\(\left( {2k - 1} \right) + 1 \le b < \frac{{100 - \left( {2k - 1} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow 2k \le b < \frac{{101 - 2k}}{2} = 50,5 - k\)

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50,5 - k \Leftrightarrow b \le 50 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k\,;\,50 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {50 - k} \right) - 2k + 1 = 51 - 3k\)

Thay giá trị của \(k\) từ 1 đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \[48,45,42, \ldots ,3\].

Đây là cấp số cộng có 16 số hạng.

Tổng của dãy cấp số cộng này là: \({S_1} = \frac{{\left( {48 + 3} \right)\, \cdot 16}}{2} = 408\) (nhóm).

TH2: \[a\] là số chẵn

Đặt \(a = 2k\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

Vì \(2 \le a \le 32\) nên \(1 \le 2k \le 32 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \(a = 2k\) vào bất phương trình của \(b\):

\(2k + 1 \le b < \frac{{100 - 2k}}{2} \Leftrightarrow 2k + 1 \le b < 50 - k\).

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50 - k\) tương đương với \(b \le 49 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k + 1\,;\,49 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {49 - k} \right) - \left( {2k + 1} \right) + 1 = 49 - 3k\)

Lần lượt cho \(k\) chạy từ \(1\) đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \(46,43,40, \ldots ,1\).

Tổng của cấp số cộng này là: \[{S_2} = \frac{{\left( {46 + 1} \right)\, \cdot \,16}}{2} = 376\] (nhóm).

Tổng số các nhóm 3 người thoả mãn yêu cầu đề bài: \[408 + 376 = 784\](nhóm).

Tổng số tiền lớn nhất cần chuẩn bị là: \(784 \cdot 150000 = 117600000\)đồng\( \approx 118\)triệu đồng.

Vậy số tiền ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị khoảng 118 triệu đồng.

Đáp án: 864.

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của \(C'\) lên mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) phải cách đều 3 đỉnh \(A,B,C\). Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm \(G\) của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(C'G\) chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm \(G\) nằm trên \(AM\). Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot \left( {C'GM} \right) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right)\). Do đó, khoảng cách \(d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \(\left( {C'AM} \right)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\).

Vì \(BC \bot \left( {C'AM} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên \(C'M\). Do \(A,G,M\) thẳng hàng và \(AM = 3GM\)nên \(d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3 \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {12\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 6 = 288\sqrt {18} = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).