Trong không gian \(Oxyz\), có hai trục \(Ox\), \(Oy\) đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia \(Oz\) hướng lên trên; đơn vị trên các trục tính bằng km. Một Ra đa đặt tại điểm \(A\left( {12;8;3} \right)\) có khả năng phát hiện các thiết bị bay trong vòng bán kính \(30\) km (các thiết bị bay cách Ra đa một khoảng không quá \(30\) km sẽ hiển thị hình ảnh trên màn hình của Ra đa). Một chiếc UAV (thiết bị bay không người lái) đang bay từ điểm \(M\left( {72;28;3} \right)\) đến điểm \(N\left( { - 32; - 30;3} \right)\) với vận tốc không đổi là \(240\) km/h. Hình ảnh của UAV xuất hiện trên màn hình của Ra đa bao nhiêu phút (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Đáp án: 9.

Gọi \(x\) là số lượng giếng dầu công ty khai thác thêm,\(x \in \mathbb{N}\).

Tổng số giếng dầu sau khi thêm: \(15 + x\)(giếng).

Sản lượng dầu của mỗi giếng sau khi thêm: \(231 - 7x\)(thùng/ngày).

Điều kiện:\(231 - 7x > 0\) suy ra \(x < 33\).

Gọi \(f(x)\)là tổng sản lượng dầu chiết xuất được mỗi ngày. Ta có:

\(f\left( x \right) = \left( {15 + x} \right)\left( {231 - 7x} \right) =  - 7{x^2} + 126x + 3465\)

Với hệ số \(a =  - 7 < 0\) nên đồ thị là một parabol có đỉnh là điểm cao nhất.

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại tọa độ đỉnh:\[\;x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 126}}{{2 \cdot \left( { - 7} \right)}} = 9\] (thỏa mãn).

Đáp án: 118.

Ta gọi số của 3 người trong một nhóm lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\)(\(a,b,c \in \mathbb{N}*\)\(1 \le a < b < c \le 100\)).

Ta có: \(a + b + c = 100\) với điều kiện (do mỗi thẻ ghi một số khác nhau và việc lập nhóm không phân biệt thứ tự từng người).

Vì \(a < b < c\) nên ta có bất đẳng thức:

\[a + \left( {a + 1} \right) + \left( {a + 2} \right) \le a + b + c\]\[ \Leftrightarrow 3a + 3 \le 100\]\[ \Leftrightarrow 3a \le 97\]\[ \Rightarrow a \le 32\]

Vậy \[a\] nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32.

Với một giá trị \[a\] cho trước, ta có \(b + c = 100 - a\).

Vì \(b < c\) nên \(b + b < b + c \Rightarrow 2b < 100 - a \Rightarrow b < \frac{{100 - a}}{2}\)

Mặt khác, vì \(a < b\) nên \(a + 1 \le b\). Kết hợp điều kiện ở trên ta được: \(a + 1 \le b < \frac{{100 - a}}{2}\)

TH1: \[a\] là số lẻ

Đặt \[a = 2k - 1\] với \[k \in {\mathbb{N}^*}\].

Vì \(1 \le a \le 31\) nên \(1 \le 2k - 1 \le 31 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \[a = 2k - 1\] vào bất phương trình của \[b\]:

\(\left( {2k - 1} \right) + 1 \le b < \frac{{100 - \left( {2k - 1} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow 2k \le b < \frac{{101 - 2k}}{2} = 50,5 - k\)

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50,5 - k \Leftrightarrow b \le 50 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k\,;\,50 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {50 - k} \right) - 2k + 1 = 51 - 3k\)

Thay giá trị của \(k\) từ 1 đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \[48,45,42, \ldots ,3\].

Đây là cấp số cộng có 16 số hạng.

Tổng của dãy cấp số cộng này là: \({S_1} = \frac{{\left( {48 + 3} \right)\, \cdot 16}}{2} = 408\) (nhóm).

TH2: \[a\] là số chẵn

Đặt \(a = 2k\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

Vì \(2 \le a \le 32\) nên \(1 \le 2k \le 32 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \(a = 2k\) vào bất phương trình của \(b\):

\(2k + 1 \le b < \frac{{100 - 2k}}{2} \Leftrightarrow 2k + 1 \le b < 50 - k\).

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50 - k\) tương đương với \(b \le 49 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k + 1\,;\,49 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {49 - k} \right) - \left( {2k + 1} \right) + 1 = 49 - 3k\)

Lần lượt cho \(k\) chạy từ \(1\) đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \(46,43,40, \ldots ,1\).

Tổng của cấp số cộng này là: \[{S_2} = \frac{{\left( {46 + 1} \right)\, \cdot \,16}}{2} = 376\] (nhóm).

Tổng số các nhóm 3 người thoả mãn yêu cầu đề bài: \[408 + 376 = 784\](nhóm).

Tổng số tiền lớn nhất cần chuẩn bị là: \(784 \cdot 150000 = 117600000\)đồng\( \approx 118\)triệu đồng.

Vậy số tiền ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị khoảng 118 triệu đồng.