PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một cái ly thủy tinh có chiều cao \(30\;{\rm{cm}}\). Khi cắt ly bởi các mặt phẳng song song với mặt đất, ta thấy mặt cắt là các hình tròn. Khi cắt ly bởi mặt phẳng đi qua trục đối xứng và vuông góc với đáy, ta được một hình phẳng \(ABCD\) có trục đối xứng, với hai đường biến \(AD\) và \(BC\) là các cung của hypebol (xem hình minh họa). Biết đường tròn giao tuyến tại vị trí hẹp nhất của ly có đường kính\(MN = 8\;{\rm{cm}}\), khoảng cách từ vị trí hẹp nhất này đến đáy ly là\(20\;{\rm{cm}}\) và đường kính đáy ly là\(CD = 8\sqrt 6 \;{\rm{cm}}\)( độ dày thành ly xem như không đáng kể). An đặt một khối lập phương đặt ruột, bằng kim loại, lên miệng ly nước sao cho một đỉnh của khối lập phương nằm gọn trong lòng ly, đồng thời mô hình ly nước và khối lập phương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Giả sử, coi như ba cạnh của khối lập phương chạm khít với thành miệng ly (xem hình vẽ). Nếu ban đầu An đổ nước đầy ly thì sau khi đặt đặt khối lập phương như trên, lượng nước trong ly còn lại bao nhiêu centimet khối? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 3.

Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\). Do đó \(\frac{n}{m} = 1 \Rightarrow m = n\), suy ra \(m\) và \(n\) cùng dấu.

Tiệm cận xiên có dạng: \(y = Ax + B\)

Với \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{a}{m}\); \(B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - Ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}} - \frac{a}{m}x} \right] = \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).

Vậy đường tiệm cận xiên là \(y = \frac{a}{m}x + \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).

Dựa vào đồ thị, tiệm cận xiên qua \(M\left( { - 2;0} \right),\,N\left( {0;2} \right)\) nên tiệm cận xiên có phương trình \(y = x + 2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{m} = 1\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\).

Theo giả thiết \(a > 0\) nên \(m > 0\,\left( 1 \right)\) mà \(m = n\) suy ra \(n > 0\,\,\left( 2 \right)\).

Thế \(m = n,\,a = m\) vào \(\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\) ta được

\(\frac{{{m^2} - bm}}{{{m^2}}} = 2 \Rightarrow 1 - \frac{b}{m} = 2 \Rightarrow \frac{b}{m} = - 1 \Rightarrow b = - m < 0\,\,\left( 3 \right)\)

Giao điểm của đồ thị \(y = \frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}}\) với trục tung: Cho \(x = 0\) ta được \(y = \frac{c}{n}\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục tung tại \(y = 1\)\( \Rightarrow \frac{c}{n} = 1 \Rightarrow c = n > 0\,\left( 4 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta suy ra \(m > 0\), \(n > 0\), \(c > 0\), \(b < 0\).

Vậy có 3 hệ số dương là \(m,n,c\).

Đáp án: 9.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm \(t{\rm{ }}(t \ge 0)\).

Kiến vàng (đi từ \(A\) đến \(D'\)):

Vectơ\(\overrightarrow {AD'} = \left( {0;30;30} \right)\), độ dài\(AD' = 30\sqrt 2 \).

Vận tốc\({v_1} = 1{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến vàng ở vị trí \(M\).

Tọa độ \(M\):

\(\overrightarrow {AM} = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'} = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}\left( {0;30;30} \right) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

Kiến đen (đi từ \(D\) đến \(B\)):

Vectơ \(\overrightarrow {DB} = \left( {30; - 30;0} \right)\), độ dài \(DB = 30\sqrt 2 \).

Vận tốc \({v_2} = 2{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến đen ở vị trí \(N\).

Tọa độ \(N\): \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {AN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}\left( {30; - 30;0} \right) = \left( {0;30;0} \right) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai con kiến là \(d = MN\). Ta có:

\(M{N^2} = {\left( {\sqrt 2 t - 0} \right)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\).

Hàm số \(f\left( t \right) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\) là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:

\(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9,0913\).