Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(30{\rm{ cm}}\). Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí \(A\) và \(D\), kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(1{\rm{ cm/s}}\) và kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(30{\rm{ cm}}\). Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí \(A\) và \(D\), kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(1{\rm{ cm/s}}\) và kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 39) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 9.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm \(t{\rm{ }}(t \ge 0)\).
Kiến vàng (đi từ \(A\) đến \(D'\)):
Vectơ\(\overrightarrow {AD'} = \left( {0;30;30} \right)\), độ dài\(AD' = 30\sqrt 2 \).
Vận tốc\({v_1} = 1{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến vàng ở vị trí \(M\).
Tọa độ \(M\):
\(\overrightarrow {AM} = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'} = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}\left( {0;30;30} \right) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
Kiến đen (đi từ \(D\) đến \(B\)):
Vectơ \(\overrightarrow {DB} = \left( {30; - 30;0} \right)\), độ dài \(DB = 30\sqrt 2 \).
Vận tốc \({v_2} = 2{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến đen ở vị trí \(N\).
Tọa độ \(N\): \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} \)
\(\overrightarrow {AN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}\left( {30; - 30;0} \right) = \left( {0;30;0} \right) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)\)
Khoảng cách giữa hai con kiến là \(d = MN\). Ta có:
\(M{N^2} = {\left( {\sqrt 2 t - 0} \right)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\).
Hàm số \(f\left( t \right) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\) là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:
\(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9,0913\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 3.
Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\). Do đó \(\frac{n}{m} = 1 \Rightarrow m = n\), suy ra \(m\) và \(n\) cùng dấu.
Tiệm cận xiên có dạng: \(y = Ax + B\)
Với \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{a}{m}\); \(B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - Ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}} - \frac{a}{m}x} \right] = \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).
Vậy đường tiệm cận xiên là \(y = \frac{a}{m}x + \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).
Dựa vào đồ thị, tiệm cận xiên qua \(M\left( { - 2;0} \right),\,N\left( {0;2} \right)\) nên tiệm cận xiên có phương trình \(y = x + 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{m} = 1\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\).
Theo giả thiết \(a > 0\) nên \(m > 0\,\left( 1 \right)\) mà \(m = n\) suy ra \(n > 0\,\,\left( 2 \right)\).
Thế \(m = n,\,a = m\) vào \(\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\) ta được
\(\frac{{{m^2} - bm}}{{{m^2}}} = 2 \Rightarrow 1 - \frac{b}{m} = 2 \Rightarrow \frac{b}{m} = - 1 \Rightarrow b = - m < 0\,\,\left( 3 \right)\)
Giao điểm của đồ thị \(y = \frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}}\) với trục tung: Cho \(x = 0\) ta được \(y = \frac{c}{n}\).
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục tung tại \(y = 1\)\( \Rightarrow \frac{c}{n} = 1 \Rightarrow c = n > 0\,\left( 4 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta suy ra \(m > 0\), \(n > 0\), \(c > 0\), \(b < 0\).
Vậy có 3 hệ số dương là \(m,n,c\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đúng. Mức lương của kĩ sư đó qua từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \[{u_1} = 120\] và công sai \[d = 12\] (\[{u_1}\]và \[d\] đơn vị triệu đồng).
b) Sai . Vào năm thứ \[5\] làm việc cho công ty, mức lương của kĩ sư đó nhận được trong năm đó là \[{u_5} = {u_1} + 4d = 120 + 4 \cdot 12 = 168\] (triệu đồng).
c) Đúng. Mức lương của kĩ sư đó nhận được trong năm thứ \[10\] là
\[{u_{10}} = 120 + 9 \cdot 12 = 228\] (triệu đồng).
Sau \[10\] năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được từ công ty là
\[{S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right) \cdot 10}}{2} = \frac{{\left( {120 + 228} \right) \cdot 10}}{2} = 1740\](triệu đồng).
d) Đúng. Tổng số tiền lãi mà kĩ sư nhận được tại thời điểm hết năm gửi tiền thứ \[10\] là
\[\,\,\,\,40\% \cdot {u_1} \cdot {\left( {1 + 5\% } \right)^{10}} + 40\% \cdot {u_2} \cdot {\left( {1 + 5\% } \right)^9} + ... + 40\% \cdot {u_{10}} \cdot {\left( {1 + 5\% } \right)^1} - 40\% \cdot {S_{10}}\]
\[ = 0,4 \cdot 120 \cdot {1,05^{10}} + 0,4 \cdot 132 \cdot {1,05^9} + ... + 0,4 \cdot 228 \cdot {1,05^1} - 0,4 \cdot 1740\]\[ \approx 198\](triệu đồng).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập