Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(5\), hình chiếu \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của \[BC\] và góc nhị diện \(\left[ {C',BC,A} \right]\) bằng \(120^\circ \). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 3.

Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\). Do đó \(\frac{n}{m} = 1 \Rightarrow m = n\), suy ra \(m\) và \(n\) cùng dấu.

Tiệm cận xiên có dạng: \(y = Ax + B\)

Với \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{a}{m}\); \(B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - Ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}} - \frac{a}{m}x} \right] = \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).

Vậy đường tiệm cận xiên là \(y = \frac{a}{m}x + \frac{{an - bm}}{{{m^2}}}\).

Dựa vào đồ thị, tiệm cận xiên qua \(M\left( { - 2;0} \right),\,N\left( {0;2} \right)\) nên tiệm cận xiên có phương trình \(y = x + 2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{m} = 1\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m\\\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\end{array} \right.\).

Theo giả thiết \(a > 0\) nên \(m > 0\,\left( 1 \right)\) mà \(m = n\) suy ra \(n > 0\,\,\left( 2 \right)\).

Thế \(m = n,\,a = m\) vào \(\frac{{an - bm}}{{{m^2}}} = 2\) ta được

\(\frac{{{m^2} - bm}}{{{m^2}}} = 2 \Rightarrow 1 - \frac{b}{m} = 2 \Rightarrow \frac{b}{m} = - 1 \Rightarrow b = - m < 0\,\,\left( 3 \right)\)

Giao điểm của đồ thị \(y = \frac{{a{x^2} - bx - c}}{{mx - n}}\) với trục tung: Cho \(x = 0\) ta được \(y = \frac{c}{n}\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục tung tại \(y = 1\)\( \Rightarrow \frac{c}{n} = 1 \Rightarrow c = n > 0\,\left( 4 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta suy ra \(m > 0\), \(n > 0\), \(c > 0\), \(b < 0\).

Vậy có 3 hệ số dương là \(m,n,c\).

Đáp án: 9.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm \(t{\rm{ }}(t \ge 0)\).

Kiến vàng (đi từ \(A\) đến \(D'\)):

Vectơ\(\overrightarrow {AD'} = \left( {0;30;30} \right)\), độ dài\(AD' = 30\sqrt 2 \).

Vận tốc\({v_1} = 1{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến vàng ở vị trí \(M\).

Tọa độ \(M\):

\(\overrightarrow {AM} = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'} = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}\left( {0;30;30} \right) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

Kiến đen (đi từ \(D\) đến \(B\)):

Vectơ \(\overrightarrow {DB} = \left( {30; - 30;0} \right)\), độ dài \(DB = 30\sqrt 2 \).

Vận tốc \({v_2} = 2{\rm{ cm/s}}\). Sau thời gian \(t\), kiến đen ở vị trí \(N\).

Tọa độ \(N\): \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {AN} = \left( {0;30;0} \right) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}\left( {30; - 30;0} \right) = \left( {0;30;0} \right) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai con kiến là \(d = MN\). Ta có:

\(M{N^2} = {\left( {\sqrt 2 t - 0} \right)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\).

Hàm số \(f\left( t \right) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900\) là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:

\(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9,0913\).