Có hai phác đồ điều trị \(A\) và \(B\) cho một loại bệnh. Phác đồ \(A\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(55\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(8\% .\) Phác đồ \(B\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(75\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(12\% .\) Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là \(50\% \)).

Gọi biến cố \(A:\) “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(A\)”;

      biến cố \(B:\) “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\)”;

       biến cố \(K:\) “Bệnh nhân được chữa khỏi bệnh”;

       biến cố \(T:\) “Bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng”.

Vì phác đồ \(A\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(55\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(8\% \) nên \(P\left( {K\left| A \right.} \right) = 55\% = 0,55\) và \(P\left( {T\left| A \right.} \right) = 8\% = 0,08.\)

Vì phác đồ \(B\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(75\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(12\% \) nên \(P\left( {K\left| B \right.} \right) = 75\% = 0,75\) và \(P\left( {T\left| B \right.} \right) = 12\% = 0,12.\)

Vì xác suất chọn mỗi phác đồ là \(50\% \) nên \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 50\% = 0,5.\)

a) Sai. Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( T \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {T\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,08 + 0,5 \cdot 0,12 = 0,1.\)

Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B\left| T \right.} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,12}}{{0,1}} = 0,6.\)

b) Đúng. Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( T \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {T\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,08 + 0,5 \cdot 0,12 = 0,1.\)

c) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là

\(P\left( {A \cap K} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {K\left| A \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,55 = 0,275.\)

d) Sai. Trong phác đồ \(A:\) \(P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| A \right.} \right) = P\left( {K\left| A \right.} \right) \cdot \left[ {1 - P\left( {T\left| A \right.} \right)} \right] = 0,55 \cdot \left( {1 - 0,08} \right) = 0,506.\)

Trong phác đồ \(B:\) \(P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| B \right.} \right) = P\left( {K\left| B \right.} \right) \cdot \,\left[ {1 - P\left( {T\left| B \right.} \right)} \right] = 0,75 \cdot \left( {1 - 0,12} \right) = 0,66.\)

Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là

\(P\left( {K \cap \overline {T\,} } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {K \cap \left. {\overline {T\,} } \right|B} \right) = 0,5 \cdot 0,506 + 0,5 \cdot 0,66 = 0,583.\)