Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua \(M\left( {1;2; - 4} \right)\) và vuông góc với trục \(Oz\) có phương trình là:    

Gọi \(I = AB' \cap A'M\) và \(D = A'N \cap AC\).

Ta có \(\frac{{IA}}{{IB'}} = \frac{1}{2}\) nên suy ra \({\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = 2{\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MN} \right)} \right)\).

Mặt khác, theo giả thiết

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot \left( {ABC} \right)}\\{A'M \subset \left( {A'MD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {A'MD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(AE \bot MD\) mà \(\left( {A'MD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MD\). Suy ra \(AE = {\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(A'AD\), có \(\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow CD = \frac{1}{2}AD\).

Do đó \(AC = CD = 2\).

Mặt khác \(M{D^2} = A{M^2} + A{D^2} - 2AM \cdot AD \cdot \cos \widehat {MAD} = 13\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {13} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'MD}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD \cdot \sin \widehat {MAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Suy ra \({\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right) = AE = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta AMD}}}}{{MD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\)\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \approx 1,92\).

a) Đúng. Phương trình chính tắc của parabol có dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M\left( {2;1} \right)\] nên \[{1^2} = 2p \cdot 2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\].

b) Sai. Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} } = \frac{8}{3}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

c) Đúng. Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \].

d) Sai. Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\].

Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \approx 65,5\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].