Mô hình EOQ (Economic Order Quantity) được công bố năm 1913 là một công cụ quản trị vận hành dùng để xác định lượng hàng nhập kho tối ưu. Giả sử một cửa hàng thức ăn cho mèo có nhu cầu tiêu thụ hàng hóa đều đặn với tốc độ bán hàng \(d = \) 100 hộp/ngày. Các thông số chi phí được xác định như sau:

•\(K = 1000000\) đồng: chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng (phí vận chuyển, nhân công);

• \(c\) đồng/hộp: giá nhập mỗi hộp hàng (giả định không đổi và không có chiết khấu);

• \(h = 500\) đồng/hộp/ngày: đơn giá lưu kho (chi phí lưu giữ một hộp hàng trong kho trong một ngày).

Gọi \(Q\) (hộp) là số lượng hàng mà người bán nhập vào trong mỗi lần đặt hàng. Thời gian tiêu thụ hết lượng hàng là \(\frac{Q}{d}\) (ngày). Tổng chi phí cho một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là \(f = K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}\).

Hỏi cửa hàng nên nhập bao nhiêu hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)?

a) Đúng. Phương trình chính tắc của parabol có dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M\left( {2;1} \right)\] nên \[{1^2} = 2p \cdot 2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\].

b) Sai. Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} } = \frac{8}{3}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

c) Đúng. Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \].

d) Sai. Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\].

Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \approx 65,5\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].

Gọi \(I = AB' \cap A'M\) và \(D = A'N \cap AC\).

Ta có \(\frac{{IA}}{{IB'}} = \frac{1}{2}\) nên suy ra \({\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = 2{\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MN} \right)} \right)\).

Mặt khác, theo giả thiết

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot \left( {ABC} \right)}\\{A'M \subset \left( {A'MD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {A'MD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(AE \bot MD\) mà \(\left( {A'MD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MD\). Suy ra \(AE = {\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(A'AD\), có \(\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow CD = \frac{1}{2}AD\).

Do đó \(AC = CD = 2\).

Mặt khác \(M{D^2} = A{M^2} + A{D^2} - 2AM \cdot AD \cdot \cos \widehat {MAD} = 13\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {13} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'MD}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD \cdot \sin \widehat {MAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Suy ra \({\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right) = AE = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta AMD}}}}{{MD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\)\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \approx 1,92\).