Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {6\,;0\,;4} \right)\), \(B\left( { - 3\,; - 2\,;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 5z + 1 = 0\). Biết \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ dài đoạn \(OM\) (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

a) Đúng. Phương trình chính tắc của parabol có dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M\left( {2;1} \right)\] nên \[{1^2} = 2p \cdot 2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\].

b) Sai. Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} } = \frac{8}{3}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

c) Đúng. Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \].

d) Sai. Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\].

Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \approx 65,5\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].

Đáp án: 632

Bước 1: Thiết lập hàm chi phí trung bình mỗi ngày

Thời gian của một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là \(\frac{Q}{d}\) (ngày).

Gọi \(g\left( Q \right)\) là hàm chi phí trung bình mỗi ngày. Ta có công thức chi phí trung bình bằng tổng chi phí chia cho thời gian chu kỳ: \(g\left( Q \right) = \frac{f}{{\frac{Q}{d}}} = \frac{{K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}}}{{\frac{Q}{d}}}\)

\( = \frac{d}{Q}\left( {K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}} \right) = \frac{{Kd}}{Q} + cd + \frac{{hQ}}{2}\)

Bước 2: Tìm giá trị của lượng hàng \(Q\) để chi phí nhỏ nhất

Để \(g\left( Q \right)\)nhỏ nhất thì \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2}\) nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{Kd}}{Q} \cdot \frac{{hQ}}{2}} = \sqrt {2Kdh} \).

Dấu “=’ xảy ra khi \(Q = \sqrt {\frac{{2Kd}}{h}} \).

Bước 3: Thay số và tính toán

Thay các số liệu đã cho từ đề bài: \(d = 100\), \(K = 1000000\), \(h = 500\) vào công thức vừa tìm được: \(Q = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1000000 \cdot 100}}{{500}}} \)\( = \sqrt {\frac{{200000000}}{{500}}} \)\( = \sqrt {400000} \)\( \approx 632,4555... \approx 632\).

Cửa hàng nên nhập 632 hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất.