Trong âm nhạc, một quãng tám (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, theo thứ tự từ thấp đến cao là:

Đô – Đô – Rê – Rê – Mi (E4) – Pha – Pha – Sol – Sol – La (A4) – La – Si – Đô

trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một nửa cung (semitone). Hai nốt cách nhau \(n\) nửa cung thì tỷ lệ tần số nốt cao \({f_{nc}}\) và tần số nốt thấp \({f_{nt}}\) là \(\frac{{{f_{nc}}}}{{{f_{nt}}}} = {2^{\frac{n}{{12}}}}\); cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là \(440\;{\rm{Hz}}\). Trên đàn guitar, dây số \(1\) là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang là \(300\;{\rm{Hz}}\). Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay \(90^\circ \) thì nốt nhạc được tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số \(1\) một góc bao nhiêu độ để dây số \(1\) trở về âm chuẩn (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)?

a) Đúng. Phương trình chính tắc của parabol có dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M\left( {2;1} \right)\] nên \[{1^2} = 2p \cdot 2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\].

b) Sai. Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} } = \frac{8}{3}\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}.\]

c) Đúng. Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \].

d) Sai. Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\].

Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \approx 65,5\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].

Đáp án: 632

Bước 1: Thiết lập hàm chi phí trung bình mỗi ngày

Thời gian của một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là \(\frac{Q}{d}\) (ngày).

Gọi \(g\left( Q \right)\) là hàm chi phí trung bình mỗi ngày. Ta có công thức chi phí trung bình bằng tổng chi phí chia cho thời gian chu kỳ: \(g\left( Q \right) = \frac{f}{{\frac{Q}{d}}} = \frac{{K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}}}{{\frac{Q}{d}}}\)

\( = \frac{d}{Q}\left( {K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}} \right) = \frac{{Kd}}{Q} + cd + \frac{{hQ}}{2}\)

Bước 2: Tìm giá trị của lượng hàng \(Q\) để chi phí nhỏ nhất

Để \(g\left( Q \right)\)nhỏ nhất thì \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2}\) nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{Kd}}{Q} \cdot \frac{{hQ}}{2}} = \sqrt {2Kdh} \).

Dấu “=’ xảy ra khi \(Q = \sqrt {\frac{{2Kd}}{h}} \).

Bước 3: Thay số và tính toán

Thay các số liệu đã cho từ đề bài: \(d = 100\), \(K = 1000000\), \(h = 500\) vào công thức vừa tìm được: \(Q = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1000000 \cdot 100}}{{500}}} \)\( = \sqrt {\frac{{200000000}}{{500}}} \)\( = \sqrt {400000} \)\( \approx 632,4555... \approx 632\).

Cửa hàng nên nhập 632 hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất.