Cho các khẳng định sau:

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường thẳng \(a\). Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm \(M\) và song song với đường thẳng \(a\).

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc đường thẳng còn lại.

Nếu hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng bằng nhau.

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:

a) Vì tia \(PI\) là tia đối của tia \(PN\) nên \(\widehat {MPN}\) và \(\widehat {MPI}\) là hai góc kề bù.

Suy ra \(\widehat {MPI} = 180^\circ  - \widehat {MPN} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ \).

Vì \(PQ\) là tia phân giác của \(\widehat {MPI}\) nên

\(\widehat {QPI} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {MPI}}}{2} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \).

b) Ta có \(\widehat {QPI} = \widehat {MNP} = 50^\circ \), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(PQ\,{\rm{//}}\,NM\).

c)

Vì \(PH \bot MN\) và \(PQ\,{\rm{//}}\,MN\) nên \(PH \bot PQ\), suy ra \(\widehat {HPQ} = 90^\circ \).

Vì tia \(PM\) nằm giữa hai tia \(PH\) và \(PQ\) nên ta có:

\[\widehat {MPH} = \widehat {HPQ} - \widehat {MPQ} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \].

Vì tia \(PH\) nằm giữa hai tia \(PM\) và \(PN\) nên ta có:

\(\widehat {NPH} = \widehat {MPN} - \widehat {MPH} = 80^\circ  - 40^\circ  = 40^\circ \).

Tổng \(A\) có \(200 - 101 + 1 = 100\) số hạng. Chia \(A\) thành 5 nhóm, mỗi nhóm 20 số hạng:

\(A = \left( {\frac{1}{{101}} +  \ldots  + \frac{1}{{120}}} \right) + \left( {\frac{1}{{121}} +  \ldots  + \frac{1}{{140}}} \right) + \left( {\frac{1}{{141}} +  \ldots  + \frac{1}{{160}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{181}} +  \ldots  + \frac{1}{{200}}} \right)\).

⦁ Chứng minh \(A > \frac{5}{8}\): Trong mỗi nhóm, các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng số hạng cuối của nhóm, trong đó có số hạng lớn hơn, nên:

\(A > \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} + \frac{{20}}{{200}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} = \frac{{1627}}{{2520}} > \frac{{1575}}{{2520}} = \frac{5}{8}\).

⦁ Chứng minh \(A < \frac{3}{4}\): Mỗi số hạng của nhóm thứ nhất nhỏ hơn \(\frac{1}{{100}}\), nhóm thứ hai nhỏ hơn \(\frac{1}{{120}}\), nhóm thứ ba nhỏ hơn \(\frac{1}{{140}}\), nhóm thứ tư nhỏ hơn \(\frac{1}{{160}}\), nhóm thứ năm nhỏ hơn \(\frac{1}{{180}},\)nên:

\(A < \frac{{20}}{{100}} + \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{{1879}}{{2520}} < \frac{{1890}}{{2520}} = \frac{3}{4}\).