(1,5 điểm) Một cửa hàng trong trung tâm thương mại Lotte Đào Tấn mở bán lightstick BigBang. Cửa hàng đã nhập về \(2000\) chiếc, với giá nhập \(1\,\,700\,\,000\) đồng một chiếc và dự định bán toàn bộ số hàng trên với giá niêm yết cao hơn giá nhập \(25\% \).

 

a) Tính giá niêm yết của một chiếc lightstick.

b) Hãy tính tổng doanh thu và tổng số tiền lãi mà cửa hàng thu được khi bán hết \(2000\) chiếc lightstick nói trên theo đúng giá niêm yết.

a) Vì tia \(PI\) là tia đối của tia \(PN\) nên \(\widehat {MPN}\) và \(\widehat {MPI}\) là hai góc kề bù.

Suy ra \(\widehat {MPI} = 180^\circ  - \widehat {MPN} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ \).

Vì \(PQ\) là tia phân giác của \(\widehat {MPI}\) nên

\(\widehat {QPI} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {MPI}}}{2} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \).

b) Ta có \(\widehat {QPI} = \widehat {MNP} = 50^\circ \), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(PQ\,{\rm{//}}\,NM\).

c)

Vì \(PH \bot MN\) và \(PQ\,{\rm{//}}\,MN\) nên \(PH \bot PQ\), suy ra \(\widehat {HPQ} = 90^\circ \).

Vì tia \(PM\) nằm giữa hai tia \(PH\) và \(PQ\) nên ta có:

\[\widehat {MPH} = \widehat {HPQ} - \widehat {MPQ} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \].

Vì tia \(PH\) nằm giữa hai tia \(PM\) và \(PN\) nên ta có:

\(\widehat {NPH} = \widehat {MPN} - \widehat {MPH} = 80^\circ  - 40^\circ  = 40^\circ \).

Tổng \(A\) có \(200 - 101 + 1 = 100\) số hạng. Chia \(A\) thành 5 nhóm, mỗi nhóm 20 số hạng:

\(A = \left( {\frac{1}{{101}} +  \ldots  + \frac{1}{{120}}} \right) + \left( {\frac{1}{{121}} +  \ldots  + \frac{1}{{140}}} \right) + \left( {\frac{1}{{141}} +  \ldots  + \frac{1}{{160}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{181}} +  \ldots  + \frac{1}{{200}}} \right)\).

⦁ Chứng minh \(A > \frac{5}{8}\): Trong mỗi nhóm, các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng số hạng cuối của nhóm, trong đó có số hạng lớn hơn, nên:

\(A > \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} + \frac{{20}}{{200}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} = \frac{{1627}}{{2520}} > \frac{{1575}}{{2520}} = \frac{5}{8}\).

⦁ Chứng minh \(A < \frac{3}{4}\): Mỗi số hạng của nhóm thứ nhất nhỏ hơn \(\frac{1}{{100}}\), nhóm thứ hai nhỏ hơn \(\frac{1}{{120}}\), nhóm thứ ba nhỏ hơn \(\frac{1}{{140}}\), nhóm thứ tư nhỏ hơn \(\frac{1}{{160}}\), nhóm thứ năm nhỏ hơn \(\frac{1}{{180}},\)nên:

\(A < \frac{{20}}{{100}} + \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{{1879}}{{2520}} < \frac{{1890}}{{2520}} = \frac{3}{4}\).