Nhân dịp sơ kết học kì I, lớp 8A tổ chức cho lớp đi xem phim. Giá vé ở rạp được niêm yết như sau:

⦁ Vé người lớn: \(80\,\,000\) đồng/vé;

⦁ Vé trẻ em: \(66\,\,000\) đồng/vé.

Biết lớp 8A mua \(x\) vé trẻ em cho học sinh và \(y\) vé người lớn cho phụ huynh và các cô giáo đi cùng.

a) Hãy viết đa thức biểu thị tổng số tiền mua vé cho học sinh, phụ huynh và các cô giáo của lớp 8A nói trên theo giá niêm yết.

b) Rạp chiếu phim có chương trình khuyến mãi: “Giảm \(10\% \) tổng hóa đơn nếu mua từ 50 vé trở lên”. Hãy tính số tiền lớp 8A phải trả nếu lớp có 45 bạn học sinh và có 15 người lớn gồm phụ huynh và các cô giáo cùng đi xem phim.

1) Ta có:

Do \(HM \bot AB\) suy ra \(\widehat {AMH} = 90^\circ \) và \(HN \bot AC\) suy ra \(\widehat {ANH} = 90^\circ \).

\({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) suy ra \(\widehat {MAN} = 90^\circ \).

Tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {MAN} = \widehat {AMH} = \widehat {ANH} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Do đó, \(AH = MN\) (hai đường chéo của hình chữ nhật).

2) Ta có \(AH \bot BC\) và \(d \bot BC\) suy ra \(AH\,{\rm{//}}\,d\) hay \(AH\,{\rm{//}}\,CE\).

Vì \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(MH\,{\rm{//}}\,AN\) hay \(HE\,{\rm{//}}\,AC\).

Tứ giác \(ACEH\) có \(AH\,{\rm{//}}\,CE\) và \(HE\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(ACEH\) là hình bình hành.

3) Do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {HAC} = \widehat {NMH}\).

Do \(ACEH\) là hình bình hành nên \(\widehat {HAC} = \widehat {HEC}\).

Suy ra \(\widehat {HEC} = \widehat {NMH}\) suy ra \({\rm{\Delta }}MFE\) cân tại \(F\) và \({\rm{\Delta }}NFC\) cân tại \(F\).

Xét \({\rm{\Delta }}MFE\) cân tại \(F\) có \(Q\) là trung điểm của \(ME\) nên \(FQ\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó, \(FQ \bot ME\).

Chứng minh tương tự ta được \(FP \bot NC\).

Suy ra 3 điểm \(F,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng và tứ giác \(NPQH\) là hình chữ nhật.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NQ\) và \(HP\) suy ra \(I\) là trung điểm của \(NQ\) và \(HP\).

Do \(\Delta HKP\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là trung tuyến nên \(KI = \frac{1}{2}HP = \frac{1}{2}NQ\).

Xét \({\rm{\Delta }}NKQ\) có đường trung tuyến \(KI = \frac{1}{2}NQ\) suy ra \(\Delta NKQ\) vuông tại \(K\) hay \(\widehat {NKQ} = 90^\circ \).

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền Minh mang theo \(\left( {x > 0} \right)\).

Số tiền Minh mua món thứ nhất: \(\frac{x}{2} + 10\) (nghìn đồng).

Số tiền còn lại sau món thứ nhất: \(x - \left( {\frac{x}{2} + 10} \right) = \frac{x}{2} - 10\) (nghìn đồng).

Số tiền Minh mua món thứ hai: \(\frac{{\frac{x}{2} - 10}}{2} + 10 = \frac{x}{4} + 5\) (nghìn đồng).

Số tiền còn lại sau món thứ hai: \(\left( {\frac{x}{2} - 10} \right) - \left( {\frac{x}{4} + 5} \right) = \frac{x}{4} - 15\) (nghìn đồng).

Số tiền Minh mua món thứ ba: \(\frac{{\frac{x}{4} - 15}}{2} + 10 = \frac{x}{8} + 2,5\) (nghìn đồng).

Số tiền còn lại cuối cùng: \(\left( {\frac{x}{4} - 15} \right) - \left( {\frac{x}{8} + 2,5} \right) = \frac{x}{8} - 17,5\) (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

\(\frac{x}{8} - 17,5 = 22,5\) (vì \(22500\) đồng = \(22,5\) nghìn đồng)

\( \Rightarrow \frac{x}{8} = 40 \Rightarrow x = 320\) (thỏa mãn).

Vậy Minh đã mang theo \(320.000\) đồng (hoặc \(320\) nghìn đồng).