Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành \(EFGH\) với \(M\) là giao điểm của hai đường chéo (Hình dưới).

Cho biết \(EF = 40\) m, \(EM = 36\) m, \(HM = 16\) m. Tính độ dài cạnh \(HG\) và độ dài hai đường chéo.

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:

\(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\));

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) ( do \(MD \bot AB\));

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot AC\)).

Suy ra tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b)

⦁ Chứng minh tứ giác \(ADEF\) là hình bình hành

Ta có:

\(AD \bot AC\) (do \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\))

\(EF \bot AC\) (do \(F\) thuộc tia \(ME\) mà \(ME \bot AC\))

Suy ra \(AD\,{\rm{//}}\,EF\) (cùng vuông góc với \(AC\)).

Mặt khác, \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) (theo giả thiết, \(AF\) thuộc tia \(Ax\,{\rm{//}}\,DE\)).

Tứ giác \(ADEF\) có \(AD\,{\rm{//}}\,EF\) và \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) nên \(ADEF\) là hình bình hành.

⦁ Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(GF\):

Xét tứ giác \(AGDE\) có:

\(D\) là trung điểm của \(MG\) (giả thiết) nên \(MD = DG\).

Lại có, \(ADME\) là hình chữ nhật (chứng minh câu a) suy ra \(AE\,{\rm{//}}\,MD\) và \(AE = MD\).

Do đó, \(AE\,{\rm{//}}\,DG\) và \(AE = DG\).

Suy ra \(AGDE\) là hình bình hành. Do đó, \(AG = DE\) và \(AG\,{\rm{//}}\,DE\).

Vì \(ADEF\) là hình bình hành (chứng minh trên) nên \(AF = DE\).

Từ \(AG = DE\) và \(AF = DE\) suy ra \(AG = AF\).

Lại có \(AG\,{\rm{//}}\,DE\) và \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) nên qua điểm \(A\) có hai đường thẳng \(AG\) và \(AF\) cùng song song với \(DE\), suy ra \(G,\,\,A,\,\,F\) thẳng hàng.

Vì \(G,\,\,A,\,\,F\) thẳng hàng và \(AG = AF\) nên \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(GF\).

c) Vì \(AH\) là đường cao của \({\rm{\Delta }}ABC\) nên \(AH \bot BC\) hay \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\). Trong \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) của hình chữ nhật \(ADME\), suy ra \(O\) là trung điểm của \(AM\) và \(DE\), đồng thời \(AM = DE\).

Do \(HO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) của \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\) nên ta có:

                                              \(HO = \frac{1}{2}AM\).

Mà \(AM = DE\), do đó:

                                              \(HO = \frac{1}{2}DE\).

Xét \({\rm{\Delta }}DHE\) có \(HO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(DE\) và \(HO = \frac{1}{2}DE\), suy ra \({\rm{\Delta }}DHE\) vuông tại \(H\).

Vậy \(\widehat {DHE} = 90^\circ \).

Ta có: \(a + b + c = 0\)

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = 0\)

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) = 0\).

Mà \(ab + bc + ac = 0\) nên từ đẳng thức trên suy ra \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 0\).

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực nên \(a = b = c = 0\).

Do đó:

\(A = {\left( {a - 1} \right)^{2023}} + {b^{2024}} + {\left( {c + 1} \right)^{2025}}\)

\( = {\left( {0 - 1} \right)^{2023}} + {0^{2024}} + {\left( {0 + 1} \right)^{2025}}\)

\( =  - 1 + 0 + 1 = 0\).