Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), lấy điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(BC\) (\(M\) khác \(B\); \(M\) khác \(C\)). Kẻ \(MD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\), \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\).

a) Chứng minh tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b) Qua \(A\) kẻ tia \(Ax\) song song với \(DE\); \(Ax\) cắt tia \(ME\) tại \(F\). Trên tia \(MD\) lấy điểm \(G\) sao cho \(D\) là trung điểm của \(MG\). Chứng minh tứ giác \(ADEF\) là hình bình hành và \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(GF\). \

c) \(AM\) cắt \(DE\) tại \(O\), kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\). Tính số đo góc \(DHE\).

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:

\(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\));

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) ( do \(MD \bot AB\));

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot AC\)).

Suy ra tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b)

⦁ Chứng minh tứ giác \(ADEF\) là hình bình hành

Ta có:

\(AD \bot AC\) (do \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\))

\(EF \bot AC\) (do \(F\) thuộc tia \(ME\) mà \(ME \bot AC\))

Suy ra \(AD\,{\rm{//}}\,EF\) (cùng vuông góc với \(AC\)).

Mặt khác, \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) (theo giả thiết, \(AF\) thuộc tia \(Ax\,{\rm{//}}\,DE\)).

Tứ giác \(ADEF\) có \(AD\,{\rm{//}}\,EF\) và \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) nên \(ADEF\) là hình bình hành.

⦁ Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(GF\):

Xét tứ giác \(AGDE\) có:

\(D\) là trung điểm của \(MG\) (giả thiết) nên \(MD = DG\).

Lại có, \(ADME\) là hình chữ nhật (chứng minh câu a) suy ra \(AE\,{\rm{//}}\,MD\) và \(AE = MD\).

Do đó, \(AE\,{\rm{//}}\,DG\) và \(AE = DG\).

Suy ra \(AGDE\) là hình bình hành. Do đó, \(AG = DE\) và \(AG\,{\rm{//}}\,DE\).

Vì \(ADEF\) là hình bình hành (chứng minh trên) nên \(AF = DE\).

Từ \(AG = DE\) và \(AF = DE\) suy ra \(AG = AF\).

Lại có \(AG\,{\rm{//}}\,DE\) và \(AF\,{\rm{//}}\,DE\) nên qua điểm \(A\) có hai đường thẳng \(AG\) và \(AF\) cùng song song với \(DE\), suy ra \(G,\,\,A,\,\,F\) thẳng hàng.

Vì \(G,\,\,A,\,\,F\) thẳng hàng và \(AG = AF\) nên \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(GF\).

c) Vì \(AH\) là đường cao của \({\rm{\Delta }}ABC\) nên \(AH \bot BC\) hay \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\). Trong \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) của hình chữ nhật \(ADME\), suy ra \(O\) là trung điểm của \(AM\) và \(DE\), đồng thời \(AM = DE\).

Do \(HO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) của \({\rm{\Delta }}AHM\) vuông tại \(H\) nên ta có:

                                              \(HO = \frac{1}{2}AM\).

Mà \(AM = DE\), do đó:

                                              \(HO = \frac{1}{2}DE\).

Xét \({\rm{\Delta }}DHE\) có \(HO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(DE\) và \(HO = \frac{1}{2}DE\), suy ra \({\rm{\Delta }}DHE\) vuông tại \(H\).

Vậy \(\widehat {DHE} = 90^\circ \).