II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(2,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý (nếu có thể):

a) \( - 0,6 + \frac{3}{5} - \frac{3}{4}\).                                          

b) \(\frac{7}{{13}} \cdot \frac{{ - 10}}{{11}} - \frac{7}{{13}} \cdot \frac{1}{{11}} + \frac{{33}}{{13}}\).

c) \(\left( {1,25 - \frac{3}{{18}}} \right) - \left( {\frac{5}{6} + \frac{1}{4}} \right)\).                

d) \(\left( {25\%  - 1\frac{3}{4}} \right):\left( { - \frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2}\).

Ta có \(A = \frac{{{2^2} + 2}}{{{2^2}}} + \frac{{{3^2} + 2}}{{{3^2}}} + \frac{{{4^2} + 2}}{{{4^2}}} +  \ldots  + \frac{{{{20}^2} + 2}}{{{{20}^2}}}\)

\( = \left( {1 + \frac{2}{{{2^2}}}} \right) + \left( {1 + \frac{2}{{{3^2}}}} \right) +  \ldots  + \left( {1 + \frac{2}{{{{20}^2}}}} \right)\).

Biểu thức \(A\) có \(19\) số hạng nên \(A = 19 + 2B\), với \(B = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} +  \ldots  + \frac{1}{{{{20}^2}}}\).

Với mọi số tự nhiên \(k \ge 2\), ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} < \frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}}\).

Do đó \(B < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} +  \ldots  + \frac{1}{{19 \cdot 20}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +  \ldots  + \frac{1}{{19}} - \frac{1}{{20}} = 1 - \frac{1}{{20}} < 1\).

Suy ra \(A < 19 + 2 \cdot 1 = 21\). (1)

Mặt khác, giữ nguyên số hạng \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}\), ta có:

\(B > \frac{1}{4} + \left( {\frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} +  \ldots  + \frac{1}{{20 \cdot 21}}} \right) = \frac{1}{4} + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{{21}}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{2}{7} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(A > 19 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 20\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(20 < A < 21\).

a) Vì \(N,\,\,H,\,\,M\) thẳng hàng nên từ \(NH \bot HK\) và \(NM \bot MP\) suy ra \(HK \bot NM\) và \(MP \bot NM\).

Do đó \(HK\,{\rm{//}}\,MP\) (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba).

b) Vì \(HK\,{\rm{//}}\,MP\) nên \(\widehat {NKH} = \widehat {NPM} = 35^\circ \) (hai góc đồng vị).

Vì \(K\) nằm giữa \(N\) và \(P\) nên \(\widehat {NKH} + \widehat {HKP} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {HKP} = 180^\circ  - 35^\circ  = 145^\circ \).

c) Vì \(Pz\) là tia phân giác của \(\widehat {MPN}\) nên \(\widehat {IPM} = \frac{1}{2}\widehat {MPN} = \frac{1}{2} \cdot 35^\circ  = 17,5^\circ \).

Vì \(Kd\) là tia phân giác của \(\widehat {PKH}\) nên \(\widehat {IKH} = \frac{1}{2}\widehat {PKH} = \frac{1}{2} \cdot 145^\circ  = 72,5^\circ \).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(HK\), cắt đoạn \(KP\) tại \(T\).

Vì \(T\) nằm giữa \(K\) và \(P\) nên tia \(IT\) nằm trong \(\widehat {KIP}\).

Vì \(HK\,{\rm{//}}\,MP\) nên \(IT\,{\rm{//}}\,MP\).

Vì \(IT\,{\rm{//}}\,HK\) nên \(\widehat {KIT} = \widehat {IKH} = 72,5^\circ \) (hai góc so le trong).

Vì \(IT\,{\rm{//}}\,MP\) nên \(\widehat {TIP} = \widehat {IPM} = 17,5^\circ \) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat {KIP} = \widehat {KIT} + \widehat {TIP} = 72,5^\circ  + 17,5^\circ  = 90^\circ \).