Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong trường hợp sau: Δ1: 2x + y – 4 = 0 và Δ2 : 5x – 2y + 3 = 0.

Theo đề bài có:

Độ dài trục lớn của elip bằng 769266km ⇒ A1A2 = 2a = 769266 ⇒ a = 384633

Độ dài trục nhỏ của elip bằng 768106km ⇒ B1B2 = 2b = 768106 ⇒ b = 384053

⇒ c2 = a2 – b2 = 445837880 ⇒ c ≈ 21115

⇒ F1F2 = 2c = 42230

⇒ A1F1 = A2F2 = (A1A2 – F1F2)/2 = 363518

+ Trái Đất gần Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A2

⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng A2F2 = 363518 km

+ Trái Đất xa Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A1

⇒ khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng:

A1F2 = A1F1 + F1F2 = 405748 km.

a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)

⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp

OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận  là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’

⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.

+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.

+ Trung điểm I của OO’ là 

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy O’(–2; 2).

b)

+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.

O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.

Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’, với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.

Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.

⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A ⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.

⇒ O’A nhận  là một vtcp

⇒ O’A nhận  là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A

⇒ Phương trình đường thẳng O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.

M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :

Vậy điểm M cần tìm là