Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V không đổi. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r . Tính tỷ số $\frac{h}{r}$  sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng1  cạnh là cạnh của (H)

Với hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu đẹp  Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:

Bước 1: Tô màu đẹp  cho hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

Bước 2: Tô màu đẹp   cho hình vuông $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ thành 9  phần bằng nhau như hình vẽ.

Bước 3: Tô màu đẹp  cho hình vuông $A_3{B}_3{C}_3{D}_3$ là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ thành 9  phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99%?

Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên của dãy số đó bằng

Cho số phức z thỏa mãn $z\overline{z}=1$ và $\left|\overline{z}-1\right|=2$. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Sin của góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng (BDA') và (ABCD) bằng

Tính tích phân $I={\int }_0^{2019\mathrm{\pi }}\sqrt{1-\cos 2x}dx$