Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=a, AD=2a, AA\text{'}=a$. Gọi M là điểm trên đoạn AD với $\frac{AM}{MD}=3$. Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng A'D, B'C và y là độ dài khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C). Tính giá trị xy.

Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số tự nhiên từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại (không cho mở nữa).

Cho khối trụ có chu vi đáy bằng $4\mathrm{\pi }$ và độ dài đường cao bằng a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Trong khai triển ${\left(1-3x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$. Tìm $a_2$ biết $a_0-a_1+a_2-a_3+...+{\left(-1\right)}^n{a}_n=2^{2018}$ 

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để chọn được một số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và ba chữ số đứng giữa đôi một khác nhau bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(3;-1;1\right)$. Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy. Tính độ dài đoạn OA'

Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2x+1$ tại ba điểm phân biệt M, N, P biết N nằm giữa M và P. Tính độ dài MP.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(1;0;0\right), N\left(\left(0;-2;0\right), P\left(0;0;1\right)\right)$. Tính khoảng cách h từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (MNP)?