Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.

* Xét tứ giác APQD, ta có: AB // CD (gt) hay AP // QD

       AP = 1/2 .AB (gt)

       QD = 1/2 CD (gt)

       AB= CD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: AP = QD

Hay tứ giác APQD là hình bình hành.

Lại có: $\angle$A = ${90}^0$ (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.

Mà AD = AP = 1/2 AB

Vậy tứ giác APQD là hình vuông.

⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vuông) ⇒ $\angle$(PHQ) = ${90}^0$ (1)

HP = HQ (t/chất hình vuông)

* Xét tứ giác PBCQ, ta có: AB // CD hay BP //CQ

            PB = 1/2 AB (gt)

            CQ = 1/2 CD (gt)

            AB = CD do ABCD là hình chữ nhật

Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: $\angle$B = ${90}^0$ (vì ABCD là hình chữ nhật) suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật

PB = BC ( vì cùng bằng AD = 1/2 AB)

Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông

⇒ PC ⊥ BQ (t/chất hình vuông) ⇒ $\angle$(PKQ) = ${90}^0$ (2)

PD là tia phân giác $\angle$(APQ) ( t/chất hình vuông)

PC là tia phân giác $\angle$(QPB) (t/chất hình vuông)

Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$(HPK) = ${90}^0$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.