Bài 12: Hình vuông

Xét tứ giác AMDN, ta có: $\angle$(MAN) = ${90}^0$ (gt)

DM ⊥ AB (gt)

⇒$\angle$(AMD) = ${90}^0$

DN ⊥ AC (gt) ⇒$\angle$(AND) = ${90}^0$

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật

(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:

AE = BK (gt)

$\angle$(EAQ) = $\angle$(KBE) = ${90}^0$

QA = EB (chứng minh trên)

Suy ra: $△$AEQ = $△$BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)

* Xét $△$BKEvà $△$CPK,ta có: BK = CP (gt)

             $\angle$(KBE) = $\angle$(PCK) = ${90}^0$

             EB = KC ( chứng minh trên)

Suy ra: $△$BKE = $△$CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

* Xét $△$CPK và $△$DQP,ta có: CP = DQ (gt)

             $\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

             DP = CK ( chứng minh trên)

Suy ra: $△$CPK = $△$DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác: $△$AEQ = $△$BKE

⇒ $\angle$(AQE) = $\angle$(BEK)

Mà $\angle$(AQE) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$

⇒ $\angle$(BEK) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$

Ta có: $\angle$(BEK) + $\angle$(QEK) + $\angle$(AEQ ) = ${180}^0$

Suy ra: $\angle$(QEK ) = ${180}^0$ -( $\angle$(BEK ) + $\angle$(AEQ) )= ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.

Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AH

Lại có: IH // AB (gt) hay IH // AK

Vậy tứ giác AHIK là hình bình hàn

Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác của $\angle$(BAC)

Ngược lại nếu AI là phân giác của $\angle$(BAC) thì hình bình hành AHIK có đường chéo AI là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.

Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của $\angle$A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.

Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật

⇒ $\angle$A = ${90}^0$ suy ra $∆$ABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có $\angle$A = ${90}^0$

Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhật

Vậy nếu $∆$ABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

* Xét tứ giác APQD, ta có: AB // CD (gt) hay AP // QD

       AP = 1/2 .AB (gt)

       QD = 1/2 CD (gt)

       AB= CD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: AP = QD

Hay tứ giác APQD là hình bình hành.

Lại có: $\angle$A = ${90}^0$ (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.

Mà AD = AP = 1/2 AB

Vậy tứ giác APQD là hình vuông.

⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vuông) ⇒ $\angle$(PHQ) = ${90}^0$ (1)

HP = HQ (t/chất hình vuông)

* Xét tứ giác PBCQ, ta có: AB // CD hay BP //CQ

            PB = 1/2 AB (gt)

            CQ = 1/2 CD (gt)

            AB = CD do ABCD là hình chữ nhật

Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: $\angle$B = ${90}^0$ (vì ABCD là hình chữ nhật) suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật

PB = BC ( vì cùng bằng AD = 1/2 AB)

Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông

⇒ PC ⊥ BQ (t/chất hình vuông) ⇒ $\angle$(PKQ) = ${90}^0$ (2)

PD là tia phân giác $\angle$(APQ) ( t/chất hình vuông)

PC là tia phân giác $\angle$(QPB) (t/chất hình vuông)

Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$(HPK) = ${90}^0$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.

Vì ΔABC vuông cân tại A nên $\angle$B = $\angle$C = ${45}^0$

Vì ΔBHE vuông tại H có $\angle$B = ${45}^0$ nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có $\angle$C = ${45}^0$ nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có $\angle$(EHG) = ${90}^0$ nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Xét $∆$ABF và $∆$DAE,ta có: AB = DA (gt)

$\angle$(BAF) = $\angle$(ADE) = ${90}^0$

AF = DE (gt)

Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c)

⇒ BF = AE và $\angle$$B_1$= $\angle$$A_1$

Gọi H là giao điểm của AE và BF.

Ta có: $\angle$(BAF) = $\angle$$A_1$+ $\angle$$A_2$ = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$$B_1$+ $\angle$$A_2$ = ${90}^0$

Trong ΔABH,ta có: $\angle$(AHB) + $\angle$$B_1$+ $\angle$$A_2$ = ${180}^0$

⇒ ($\angle$(AHB) ) = ${180}^0$ – ($\angle$$B_1$+ $\angle$$A_2$ ) = ${180}^0$ – ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy AE ⊥ BF