Câu hỏi:

12/07/2024 5,852

Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 1 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.

* Trong $∆$ ADG , ta có:

$∠$ (GAD) = $45^{0}$ ; $∠$ (GDA) = $45^{0}$ (gt)

Suy ra: $∠$ (AGD) = $180^{0}$ - $∠$ (GAD) - $∠$ (GDA) = $90^{0}$

⇒ $∆$ GAD vuông cân tại G.

⇒ GD = GA

Trong $∆$ BHC, ta có:

$∠$ (HBC) = $45^{0}$ ; $∠$ (HCB) = $45^{0}$ (gt)

Suy ra: $∠$ (BHC) = $180^{0}$ - $∠$ (HBC) - $∠$ (HCB) = $90^{0}$

⇒ $∆$ HBC vuông cân tại H.

⇒ HB = HC

* Trong ΔFDC, ta có: $∠$ $D_{1}$ = $45^{0}$ ; $∠$ $C_{1}$ = $45^{0}$ (gt)

Suy ra: $∠$ F = $180^{0}$ - D1 - C1 = $90^{0}$

⇒ $∆$ FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FC

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Xét $∆$ GAD và $∆$ HBC,ta có: $∠$ (GAD) = $∠$ (HBC) = $45^{0}$

AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

$∠$ (GDA) = $∠$ (HCB) = $45^{0}$

Suy ra: $∆$ GAD = $∆$ HBC ( g.c.g)

Do đó, GD = HC .

Lại có: FD = FC (chứng minh trên)

Suy ra: FG = FH

Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Vì ΔABC vuông cân tại A nên $∠$ B = $∠$ C = $45^{0}$

Vì ΔBHE vuông tại H có $∠$ B = $45^{0}$ nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có $∠$ C = $45^{0}$ nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có $∠$ (EHG) = $90^{0}$ nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét tứ giác AMDN, ta có: $∠$ (MAN) = $90^{0}$ (gt)

DM ⊥ AB (gt)

⇒ $∠$ (AMD) = $90^{0}$

DN ⊥ AC (gt) ⇒ $∠$ (AND) = $90^{0}$

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật

(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông

Câu 3