Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

Cách dựng:

- Dựng đoạn BC = 5cm

- Dựng góc $\angle$CBx = ${35}^0$

- Dựng CA ⊥ Bx ta có $∆$ABC dựng được.

Chứng minh: $∆$ABC có $\angle$A = 90o, $\angle$B = ${35}^0$, BC = 5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng đoạn AC = 2cm.

- Dựng góc $\angle$(CAx) bằng ${90}^0$

- Dựng cung tròn tâm C bán kính 4,5cm cắt Ax tại B. Nối CB ta có ΔABC cần dựng .

Chứng minh:

$∆$ABC có $\angle$A = ${90}^0$, AC = 2 cm, BC = 4,5 cm.

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng tam giác đều ABC

- Dựng tia phân giác AD của $\angle$(BAC)

Ta có $\angle$(BAD) = ${30}^0$

Chứng minh:

$∆$ABC đều ⇒ $\angle$(BAC) = ${60}^0$

$\angle$(BAD) = $\angle$(BAC)/2 (tính chất tia phân giác) ⇒ $\angle$(BAD) = ${30}^0$

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa điều kiện bài toán, ta thấy ΔACD xác định được vì biết CD = 3cm, ∠D = 70o, AC = 4cm

Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn 2 điều kiện:

- Nằm trên tia Ay//CD

- B cách D một khoảng bằng 4cm.

Cách dựng:

- Dựng đoạn CD = 3cm

- Dựng góc CDx bằng ${70}^0$

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.

- Dựng tia Ay // CD

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B

- Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm , $\angle$D = ${70}^0$, AC = 4cm.

Vậy ABCD là hình thang cân.

Biện luận: $∆$ACD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được.

Bài toán có một nghiệm hình.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn bài toán.

Ta thấy $∆$ADC xác định được vì biết AD = 2cm, $\angle$D = ${90}^0$, DC = 4cm. Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:

- B nằm trên tia Ax//CD

- B cách C một khoảng bằng 3cm

Cách dựng:

- Dựng ΔADC biết:

AD = 2cm, $\angle$D = ${90}^0$, DC = 4cm

- Dựng Ax ⊥ AD

- Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm, cắt Ax tại B.

Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh:

Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD , $\angle$D = ${90}^0$

Tứ giác ABCD là hình thang vuông

Lại có AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm

Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: $∆$ ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được.

Bài toán có hai nghiệm hình.

Cách dựng:

- Dựng BH : 2,5cm

- Dựng $\angle$(xHB) = ${90}^0$

- Dựng cung tròn tâm B bán kính 3cm cắt Hx tại C.

- Dựng BC

- Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A

- Dựng AB, ta có $∆$ABC cẩn dựng

Chứng minh:

Ta có AC = AB (tính chất đường trung trực)

Nên $∆$ABC cân tại A, BH ⊥ AC

Ta lại có BC = 3cm, BH = 2,5cm

Vậy $∆$ABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.