Bài 11: Hình thoi

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.

Kẻ đường chéo AC, BD

* Trong $∆$ABC, ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của $∆$ABC.

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $∆$ADC, ta có: H là trung điểm của AD

G là trung điểm của DC

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Xét $∆$AEH và $∆$DGH, ta có: AH = HD (gt)

$\angle$EAH và $\angle$GDH = $90°$

AE = DG (vì AB = CD)

Suy ra: $∆$AEH = $∆$DGH (c.g.c) ⇒ HE = HG

Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).

Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

* Trong $∆$ABC, ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của $∆$ABC.

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)

* Trong $∆$ADC, ta có: H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

EF // AC (chứng minh trên)

Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo của nó.

* Ta có: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

OB = OD (tính chất hình thoi)

Nên AC là đường trung trực của BD.

Do đó điểm đối xứng với điểm B qua AC là D;

Điểm đối xứng với điểm D qua AC là B

Điểm đối xứng với điểm A qua AC là điểm A;

Điểm đối xứng với điểm C qua AC là điểm C

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua AC cũng thuộc hình thoi

Do đó AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

* Ta có : OC = OA và AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

Nên BD là đường trung trực của AC

Do đó điểm đối xứng với điểm A qua BD là điểm C

Điểm đối xứng với điểm C qua BD là điểm A

Điểm đối xứng với điểm B qua BD là điểm B

Điểm đối xứng với điểm D qua BD là điểm D

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua BD cũng thuộc hình thoi.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Ta có: A(0;2) và C(0;-2) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OA = OC

B(3;0) và D(-3; 0) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OB = OD

Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: Ox ⊥ Oy hay AC ⊥ BD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thoi

Trong $∆$OAB vuông tại O, theo định lý Pi-ta-go ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$

$A{B}^2=2^2+3^2$ = 4 + 9 = 13

AB = $\sqrt{13}$

Vậy chu vi của hình thoi bằng 4$\sqrt{13}$