Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi

Nối BD, ta có AB = AD (gt)

Suy ra $∆$ABD cân tại A

Mà $\angle$A = ${60}^0$ ⇒ $∆$ABD đều

⇒ $\angle$(ABD) = $\angle$$D_1$ = ${60}^0$ và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒$∆$CBD đều ⇒ $\angle$$D_2$= ${60}^0$

Xét $∆$BAM và $∆$BDN,ta có:

AB = BD ( chứng minh trên)

$\angle$A = $\angle$$D_2$ = ${60}^0$

AM = DN (giả thiết)

Do đó $∆$BAM = $∆$BDN ( c.g.c) ⇒ $\angle$$B_1$= $\angle$$B_3$ và BM = BN

Suy ra ΔBMN cân tại B.

Mà $\angle$$B_2$+$\angle$$B_1$ = $\angle$(ABD) = ${60}^0$

Suy ra: $\angle$$B_2$+ $\angle$$B_3$ = $\angle$$B_2$ + $\angle$$B_1$ = 60° hay $\angle$(MBN) = ${60}^0$

Vậy $∆$BMN đều

Ta có: AB // CD (gt)

OE ⊥ AB (gt)

⇒ OE ⊥CD

OG ⊥CD(gt)

Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.

BC // AD (gt)

OF ⊥ BC (gt)

⇒ OF ⊥ AD

OH ⊥ AD (gt)

Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)

OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)

OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.