Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M,N,I,K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

$\angle$(AHC) = $\angle$(AKC) = ${90}^0$

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: $∆$AHC = $∆$AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ $\angle$(ACH) = $\angle$(ACK) hay $\angle$(ACB) = $\angle$(ACD)

⇒ CA là tia phân giác $\angle$(BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Nối BD, ta có AB = AD (gt)

Suy ra $∆$ABD cân tại A

Mà $\angle$A = ${60}^0$ ⇒ $∆$ABD đều

⇒ $\angle$(ABD) = $\angle$$D_1$ = ${60}^0$ và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒$∆$CBD đều ⇒ $\angle$$D_2$= ${60}^0$

Xét $∆$BAM và $∆$BDN,ta có:

AB = BD ( chứng minh trên)

$\angle$A = $\angle$$D_2$ = ${60}^0$

AM = DN (giả thiết)

Do đó $∆$BAM = $∆$BDN ( c.g.c) ⇒ $\angle$$B_1$= $\angle$$B_3$ và BM = BN

Suy ra ΔBMN cân tại B.

Mà $\angle$$B_2$+$\angle$$B_1$ = $\angle$(ABD) = ${60}^0$

Suy ra: $\angle$$B_2$+ $\angle$$B_3$ = $\angle$$B_2$ + $\angle$$B_1$ = 60° hay $\angle$(MBN) = ${60}^0$

Vậy $∆$BMN đều