Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân Các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

$\angle$(AHC) = $\angle$(AKC) = ${90}^0$

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: $∆$AHC = $∆$AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ $\angle$(ACH) = $\angle$(ACK) hay $\angle$(ACB) = $\angle$(ACD)

⇒ CA là tia phân giác $\angle$(BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Nối BD, ta có AB = AD (gt)

Suy ra $∆$ABD cân tại A

Mà $\angle$A = ${60}^0$ ⇒ $∆$ABD đều

⇒ $\angle$(ABD) = $\angle$$D_1$ = ${60}^0$ và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒$∆$CBD đều ⇒ $\angle$$D_2$= ${60}^0$

Xét $∆$BAM và $∆$BDN,ta có:

AB = BD ( chứng minh trên)

$\angle$A = $\angle$$D_2$ = ${60}^0$

AM = DN (giả thiết)

Do đó $∆$BAM = $∆$BDN ( c.g.c) ⇒ $\angle$$B_1$= $\angle$$B_3$ và BM = BN

Suy ra ΔBMN cân tại B.

Mà $\angle$$B_2$+$\angle$$B_1$ = $\angle$(ABD) = ${60}^0$

Suy ra: $\angle$$B_2$+ $\angle$$B_3$ = $\angle$$B_2$ + $\angle$$B_1$ = 60° hay $\angle$(MBN) = ${60}^0$

Vậy $∆$BMN đều