Bài 9: Hình chữ nhật

Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = b = 5cm; AD= a = 3cm; BD = d.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

$d^2=a^2+b^2$

⇒ $d^2=3^2+5^2$ = 9 + 25 = 34

Vậy  (cm).

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCD cũng là hình bình hành.

Do đó, O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra, điểm O là tâm đối xứng của nó.

Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.

Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AD và BC thì đường thẳng $d_2$ đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Giả sử tam giác ABC có $\angle$A = ${90}^0$, M trung điểm BC; AB = 5cm, AC = 10cm

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

BC = $\sqrt{\left(5^2+{10}^2\right)}=\sqrt{125}$ ≈ 11,2 (cm)

Mà AM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ AM = 1/2 .11,2 = 5,6 (cm)

Kẻ BH ⊥ CD,ta có: $\angle$A = ${90}^0$, $\angle$D = ${90}^0$, $\angle$(BHD) = ${90}^0$

Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ AB = DH = 16, BH = AD

HC = CD – DH = CD – AB = 24 – 16 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go, ta có:

$B{C}^2=B{H}^2+H{C}^2$

⇒ BH2 = BC2 - HC2

$B{H}^2={17}^2-8^2$ = 289 – 64 = 225

BH = $\sqrt{225}$ = 15 (cm)

Vậy x = AD = BH = 15 (cm).

Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của $\angle$A và $\angle$B; $\angle$B và $\angle$C; $\angle$C và $\angle$D; $\angle$D và $\angle$A

Ta có: $\angle$(ADF) = 1/2 $\angle$(ADC) (gt)

$\angle$(DAF) = 1/2 $\angle$(DAB) (gt)

$\angle$(ADC) + $\angle$(DAB) = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: $\angle$(ADF) + $\angle$(DAF) = 1/2 ($\angle$(ADC) + $\angle$(DAB) ) = 1/2 .${180}^0$ = ${90}^0$

Trong $∆$AFD, ta có:

$\angle$(AFD) = ${180}^0$ – ($\angle$(ADF) + $\angle$(DAF)) = ${180}^0$ – ${90}^0$ = ${90}^0$

$\angle$(EFG) = $\angle$(AFD) (đối đỉnh)

⇒ $\angle$(EFG) = ${90}^0$

$\angle$(GAB) = 1/2 $\angle$(DAB) (gt)

$\angle$(GBA) = 1/2 $\angle$(CBA) (gt)

$\angle$(DAB) + $\angle$(CBA) = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

⇒ $\angle$(GAB) + $\angle$(GBA) = 1/2 ($\angle$(DAB) + $\angle$(CBA) ) = 1/2 .${180}^0$ = ${90}^0$

Trong ΔAGB ta có: $\angle$(AGB) = ${180}^0$ – ($\angle$(GAB) + $\angle$(GBA) ) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Hay $\angle$G = ${90}^0$

$\angle$(EDC) = 1/2 $\angle$(ADC) (gt)

$\angle$(ECD) = 1/2 $\angle$(BCD) (gt)

$\angle$(ADC) + $\angle$(BCD) = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

⇒ $\angle$(EDC) + $\angle$(ECD) = 1/2 (∠$\angle$ADC) + $\angle$(BCD) ) = 1/2 .${180}^0$ = ${90}^0$

Trong ΔEDC ta có: $\angle$(DEC) = ${180}^0$ – ($\angle$(EDC) + $\angle$(ECD) ) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Hay $\angle$E = ${90}^0$

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

* Trong $∆$ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của $∆$ABC

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong $∆$DAC, ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của $∆$DAC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong $∆$ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay $\angle$(FEH) = ${90}^0$

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

* $\angle$B = $\angle$(HDC)

⇒ AB // DH (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DH //AE

* $\angle$C = $\angle$(BDE)

⇒ DE // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DE //AH

Vậy tứ giác AHDE là hình bình hành ( có các cặp đối song song với nhau )

Mà $\angle$A = ${90}^0$ nên AHDE là hình chữ nhật