Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\angle$A = ${90}^0$ (gt)

$\angle$(ADH) = ${90}^0$ (vì HD ⊥ AB)

$\angle$(AEH) = ${90}^0$ (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

+ Xét $∆$ADH và $∆$EHD có :

DH chung

AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$\angle$(ADN) = $\angle$(EHD) = ${90}^0$

Suy ra: $∆$ADH = $∆$EHD (c.g.c)

⇒ $\angle$$A_1$= $\angle$(HED)

Lại có: $\angle$(HED) + $\angle$$E_1$= $\angle$(HEA) = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$$E_1$+ $\angle$$A_1$= ${90}^0$

$\angle$$A_1$= ∠$A_2$(chứng minh trên) ⇒ $\angle$$E_1$+ $\angle$$A_2$= ${90}^0$

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong $∆$AIE ta có: $\angle$(AIE) = 180o – ($\angle$$E_1$+ $\angle$$A_2$) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy AM ⊥ DE.

ΔAHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB

⇒ HI = IA = 1/2 AB (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$AHI cân tại I

⇒ $\angle$(IAH) = $\angle$(IHA) (1)

$∆$AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC

⇒ HK = KA = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$KAH cân tại K ⇒$\angle$(KAH) = $\angle$(KHA) (2)

$\angle$(IHK) = $\angle$(IHA) + $\angle$(KHA) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\angle$(IHK) = $\angle$(IAH) + $\angle$(KAH) = $\angle$(IAK) = $\angle$(BAC) = ${90}^0$