Bài 7: Hình bình hành

Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông.

Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.

EH = FG, EF = HG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

EB = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: EB = FD (1)

Mà AB // CD (gt)

⇒ BE // FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)

Ta có: $\angle$A = $\angle$C (tính chất hình bình hành)

$\angle A_2$ = 1/2 $\angle$A ( Vì AM là tia phân giác của $\angle$(BAD) )

$\angle C_2$ = 1/2 $\angle$C ( Vì CN là tia phân giác của $\angle$(BCD) )

Suy ra: $\angle A_2$ = $\angle C_2$

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD (gt)

Hay AN // CM (1)

Mà $\angle N_1$ = $\angle C_2$(so le trong)

Suy ra: $\angle A_2$= $\angle N_1$

⇒ AM // CN (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Gọi O là'giao điểm của AC và BD, ta có:

OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)

Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:

$\angle$(AEO) = $\angle$(CFO) = ${90}^0$

OA = OC (chứng minh trên)

$\angle$(AOE) = $\angle$(COF) (đối đỉnh)

Do đó $∆$AEO = $∆$CFO (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ OE = OF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Nối đường chéo AC.

Trong $∆$ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của $∆$ABC

⇒EF//AC và EF = 1/2 AC

(tính chất đường trung hình tam giác) (1)

Trong $∆$ADC ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của $∆$ADC

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

AK = 1/2 AB (gt)

CI = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AK = CI (1)

Mặt khác: AB // CD (gt)

⇒ AK // CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

⇒ AI // CK

Trong $∆$ABE, ta có:

K là trung điểm của AB (gt)

AI // CK hay KF // AE nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong $∆$DCF, ta có:

I là trung điểm của DC (gt)

AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: DE = EF = FB

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

⇒ $\angle$C = $\angle$A = ${110}^0$ (tính chất hình bình hành)

$\angle$A + $\angle$B = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$B = ${180}^0$ – ${110}^0$ = ${70}^0$

      $\angle$D = $\angle$B = ${70}^0$ (tính chất hình bình hành)

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

⇒$\angle$A + $\angle$B = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

       $\angle$A - $\angle$B = ${20}^0$ (gt)

Suy ra: 2$\angle$A = ${200}^0$ ⇒ $\angle$A = ${100}^0$

$\angle$C = $\angle$A = ${100}^0$(tính chất hình bình hành)

$\angle$B = $\angle$A – ${20}^0$ = ${100}^0$ – ${20}^0$ = ${80}^0$

$\angle$D = $\angle$B = ${80}^0$ (tính chất hình bình hành)