Câu hỏi:

13/07/2024 9,294

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 1 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Ta có: $∠$ (AOB) = $∠$ (COD) (đối đỉnh)

$∠$ (EOB ) = 1/2 $∠$ (AOB) (gt)

$∠$ (COG) = 1/2 $∠$ (COD) (gt)

Suy ra: $∠$ (EOB ) = $∠$ (COG)

$∠$ (EOB) + $∠$ (BOC) + $∠$ (COG) = 2 $∠$ (EOB) + $∠$ (BOC)

Mà $∠$ (AOB ) + $∠$ (BOC) = $180^{0}$ ( kề bù).Hay 2 $∠$ (EOB) + $∠$ (BOC ) = $180^{0}$

Suy ra: E,O,G thẳng hàng

Ta lại có: $∠$ (BOC) = $∠$ (AOD ) ( đối đỉnh)

$∠$ (HOD) = 1/2 $∠$ (AOD) (gt)

$∠$ (FOC) = 1/2 $∠$ (BOC) (gt)

Suy ra: $∠$ (HOD) = $∠$ (FOC)

$∠$ (HOD) + $∠$ (COD ) + $∠$ (FOC) = 2 $∠$ (HOD) + $∠$ (COD)

Mà $∠$ (AOD) + $∠$ (COD) = $180^{0}$ ( kề bù). Hay 2 $∠$ (HOD) + $∠$ (COD) = $180^{0}$

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

$∠$ (ADO) = $∠$ (CBO) ( so le trong)

$∠$ (HDO) = $∠$ (FBO) ( chứng minh trên)

OD = OB ( t/chất hình bình hành)

$∠$ (HOD) = $∠$ (FOB ) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$ BFO = $∆$ DHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

$∠$ (OAB) = $∠$ (OCD) ( so le trong)

$∠$ (OAE) = 1/2 $∠$ (OAB ) (gt)

$∠$ (OCG) = 1/2 $∠$ (OCD) (gt)

Suy ra: $∠$ (OAE) = $∠$ (OCG)

Xét $∆$ OAE và $∆$ OCG,ta có :

$∠$ (OAE) = $∠$ (OCG) ( chứng mình trên)

OA = OC ( t/chất hình bình hành)

$∠$ (EOA) = $∠$ (GOC) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$ OAE= $∆$ OCG (g.c.g) ⇒ OE = OG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

$∠$ (AHC) = $∠$ (AKC) = $90^{0}$

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: $∆$ AHC = $∆$ AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ $∠$ (ACH) = $∠$ (ACK) hay $∠$ (ACB) = $∠$ (ACD)

⇒ CA là tia phân giác $∠$ (BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Câu 2

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân Các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Ta có: AB // CD (gt)

OE ⊥ AB (gt)

⇒ OE ⊥CD

OG ⊥CD(gt)

Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.

BC // AD (gt)

OF ⊥ BC (gt)

⇒ OF ⊥ AD

OH ⊥ AD (gt)

Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)

OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)

OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

Câu 3