Câu hỏi:

13/07/2024 12,751

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 1 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Ta có: $∠$ (AOB) = $∠$ (COD) (đối đỉnh)

$∠$ (EOB ) = 1/2 $∠$ (AOB) (gt)

$∠$ (COG) = 1/2 $∠$ (COD) (gt)

Suy ra: $∠$ (EOB ) = $∠$ (COG)

$∠$ (EOB) + $∠$ (BOC) + $∠$ (COG) = 2 $∠$ (EOB) + $∠$ (BOC)

Mà $∠$ (AOB ) + $∠$ (BOC) = $180^{0}$ ( kề bù).Hay 2 $∠$ (EOB) + $∠$ (BOC ) = $180^{0}$

Suy ra: E,O,G thẳng hàng

Ta lại có: $∠$ (BOC) = $∠$ (AOD ) ( đối đỉnh)

$∠$ (HOD) = 1/2 $∠$ (AOD) (gt)

$∠$ (FOC) = 1/2 $∠$ (BOC) (gt)

Suy ra: $∠$ (HOD) = $∠$ (FOC)

$∠$ (HOD) + $∠$ (COD ) + $∠$ (FOC) = 2 $∠$ (HOD) + $∠$ (COD)

Mà $∠$ (AOD) + $∠$ (COD) = $180^{0}$ ( kề bù). Hay 2 $∠$ (HOD) + $∠$ (COD) = $180^{0}$

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

$∠$ (ADO) = $∠$ (CBO) ( so le trong)

$∠$ (HDO) = $∠$ (FBO) ( chứng minh trên)

OD = OB ( t/chất hình bình hành)

$∠$ (HOD) = $∠$ (FOB ) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$ BFO = $∆$ DHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

$∠$ (OAB) = $∠$ (OCD) ( so le trong)

$∠$ (OAE) = 1/2 $∠$ (OAB ) (gt)

$∠$ (OCG) = 1/2 $∠$ (OCD) (gt)

Suy ra: $∠$ (OAE) = $∠$ (OCG)

Xét $∆$ OAE và $∆$ OCG,ta có :

$∠$ (OAE) = $∠$ (OCG) ( chứng mình trên)

OA = OC ( t/chất hình bình hành)

$∠$ (EOA) = $∠$ (GOC) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$ OAE= $∆$ OCG (g.c.g) ⇒ OE = OG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

$∠$ (AHC) = $∠$ (AKC) = $90^{0}$

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: $∆$ AHC = $∆$ AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ $∠$ (ACH) = $∠$ (ACK) hay $∠$ (ACB) = $∠$ (ACD)

⇒ CA là tia phân giác $∠$ (BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Câu 2

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M,N,I,K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

*Trong $∆$ BCD,ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của $∆$ BCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong $∆$ BED,ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của $∆$ BED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong $∆$ BEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).

Câu 3