Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d tương ứng có phương trình là $2x-y+3z-3=0$ và $\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M. Gọi N là điểm thuộc d sao cho $MN=3$ , gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm N trên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn MK.

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương, anh A đều phải cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu, biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?

Cho 0 < a < 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Biết ${\int }_0^1\frac{\left(x^2+5x+6\right)e^x}{x+2+e^{-x}}dx=a.e-b-\ln \frac{a.e+c}{3}$ với a, b, c là các số nguyên tố và e là cơ số của logarit tự nhiên. Tính $S=2a+b+c$.

Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4x+4$, đường cong $y=x^3$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình (H)

Cho khối trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền $AB=\sqrt{2}$. Mặt phẳng (AA'B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), $AA\text{'}=\sqrt{3}$, góc A'AB nhọn và mặt phẳng (A'AC) tạo với (ABC) một góc $60°$. Thể tích khối lăng trụ  bằng

Cho hai số thực dương x, y thõa mãn điều kiện $2xy+{\log }_2{\left(xy+x\right)}^x=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2x^2+y$

Xét hai số phức $z_1, z_2$ thay đổi thõa mãn $\left|z_1-z_2\right|=\left|z_1+z_2+4-2i\right|=2$. Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$. Gía trị của AB là