Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}; {∆}_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}; {∆}_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng $∆$ vuông góc với d đồng thời cắt ${∆}_1, {∆}_2$tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng $∆$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(h;k;1\right)$. Giá trị của h - k bằng

Giả sử $z_1, z_2$ là hai trong các số phức z thỏa mãn $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)$ là số thực. Biết rằng $\left|z_1-z_2\right|=4$, giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1+3z_2\right|$ bằng

Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số y = f’(x) được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left(\cos x\right)+x^2-x$ đồng biến trên khoảng

Bất phương trình $\left(x^3-9x\right)\ln \left(x+5\right)\le 0$ có bao niêu nghiệm nguyên?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$, với $u_1=-9; u_4=\frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Biết rằng ${\int }_0^1\frac{dx}{3x+5\sqrt{3x+1}+7}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5$, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b +c bằng

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{{\sin }^{2}x}$ trên khoảng $\left(0;\mathrm{\pi }\right)$ là

Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Biểu thức $\ln \frac{a}{b^2}$ bằng