Cho số phức z và gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+8i=0$ (có $z_1$ có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z-z_1\right|+\left|z_2-z\right|+\left|\overline{z}+2z_1+\frac{z_2}{2}\right|$ được viết dưới dạng $m\sqrt{n}+p\sqrt{q}$ (trong đó $n,p\in N;m,q$ là các số nguyên tố). Tổng m + n + p + q bằng

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ có đồ thị là (C) . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $a\in R$ để qua điểm $M\left(0;a\right)$ có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M 

$C_n^2$ bằng biểu thức nào sau đây?

Biết rằng nếu $x\in R$ thỏa mãn ${27}^x+{27}^{-x}=4048$ thì $3^x+3^{-x}=9a+b$ trong đó $a,b\in N;0<a\le 9.$ Tổng a+b bằng

Cho hàm số $y = f\left(x\right)$  xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số $y = f\left(x\right)$?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^3+mx+1}-\sqrt[3]{x^4+x+1}+m^{2}x}$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tích các phần tử của S bằng

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau, các cạnh của hình chữ nhật có kích thước là m và n ($m,n\in N;1\le m,n\le 20,$ đơn vị là cm). Biết rằng mỗi bộ kích thước ( m,n) đều có tấm bìa tương ứng. Ta gọi một tấm bìa là “tốt” nếu tấm bìa đó có thể được lắp ghép từ các miếng bìa dạng hình chữ L gồm 4 ô vuông, mỗi ô có độ dài cạnh là 1cm để tạo thành nó (Xem hình vẽ minh họa một tấm bìa “tốt” bên dưới) . 

Rút ngẫu nhiên một tấm bìa từ hộp, tính xác suất để tấm bìa vừa rút được là tấm bìa “tốt”