Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;π4 và fπ4=0. Biết rằng ta có điều kiện ∫0π4f2xdx=π8;∫0π4f'xsin2xdx=−π4. Tính tích phân I=∫0π8f2xdx. A. I=12 B. I=14 C. I=2 D. I=1

Đáp án B.Ta có ∫0π4f'xsin2xdxĐặt u=sin2xdv=f'x⇒du=2cos2xdxv=fx suy ra ∫0π4f'xsin2xdx=sin2xfxπ40−∫0π42cos2x.fxdx⇒−2∫0π4cos2x.fxdx=−π4⇒∫0π4cos2x.fxdx=π8Lại có: ∫0π4cos22x.fxdx=π8⇒∫0π4fx−cos2x2dx=0⇒fx=cos2x Do đó ∫0π8f2xdx=∫0π8cos4xdx=sin4x4π80=14.

Câu hỏi:

10/05/2020 7,788

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ và $f (\frac{π}{4}) = 0.$ Biết rằng ta có điều kiện $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f^{2} (x) d x = \frac{π}{8}; \int_{0}^{\frac{π}{4}} f' (x) \sin 2 x d x = - \frac{π}{4} .$ Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{8}} f (2 x) d x$ .

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{1}{4}$

C. $I = 2$

D. $I = 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán mới nhất cực hay !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Ta có $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f' (x) \sin 2 x d x$

Đặt $\{\begin{cases} u = \sin 2 x \\ d v = f' (x) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 \cos 2 xdx \\ v = f (x) \end{cases}$ suy ra

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \begin{array}{l} f' (x) \sin 2 x d x \\ = \sin 2 x f (x) |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{4}} \\ _{0} \end{array} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \cos 2 x . f (x) \end{array} d x$

$\Rightarrow - 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} c o s 2 x . f (x) d x = - \frac{π}{4} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} c o s 2 x . f (x) d x = \frac{π}{8}$

Lại có: $\int_{0}^{\frac{π}{4}} c o s^{2} 2 x . f (x) d x = \frac{π}{8} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} {[f (x) - c o s 2 x]}^{2} d x = 0 \Rightarrow f (x) = c o s 2 x$

Do đó $\int_{0}^{\frac{π}{8}} f (2 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{8}} c o s 4 x d x = \frac{\sin 4 x}{4} |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{8}} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{4} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội tham dự trong đó có 9 đội bóng nước ngoài, 3 đội bóng của Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng có 4 đội. Tính xác suất để 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.

A. $\frac{16}{55}$

B. $\frac{133}{165}$

C. $\frac{32}{165}$

D. $\frac{39}{65}$

Lời giải

Đáp án A.

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 12 đội thành 3 bảng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}$ .

Gọi X là biến cố “3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau”

Bước 1: Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách.

Bước 2: Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng A, B, C này có $C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}$ .

Suy ra số phần tử của biến cố X là $n (X) = 3! . C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}$ .

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{3! . C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}}{C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}} = \frac{16}{55}$ .

Câu 2

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3}, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases} .$ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190$ ?

A. $n = 2017.$

B. $n = 2020.$

C. $N = 2018.$

D. $N = 2019.$

Lời giải

Đáp án B.

Ta có $\begin{array}{l} u_{n} = u_{n - 1} + {(n - 1)}^{3} \\ \Leftrightarrow u_{n} - u_{n - 1} \\ = {(n - 1)}^{3} \Rightarrow u_{n - 1} - u_{n - 2} \\ = {(n - 2)}^{3} \end{array}$ .

Tương tự, ta được $u_{2} - u_{1} = 1^{3} .$ Cộng trừ 2 vế suy ra $u_{n} - u_{1} = 1^{3} + 2^{3} + ... + {(n - 1)}^{3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow u_{n} - 1 = {[\frac{n (n - 1)}{2}]}^{2} \\ \Rightarrow \sqrt{u_{n} - 1} = \frac{n (n - 1)}{2} \geq 2039190 \\ \Leftrightarrow n \geq 2020. \end{array}$

Câu 3

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ${(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2018} < {(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2017}$

B. $2^{\sqrt{2} + 1} > 2^{\sqrt{3}}$

C. ${(\sqrt{2} - 1)}^{2017} > {(\sqrt{2} - 1)}^{2018}$

D. ${(\sqrt{3} - 1)}^{2018} > {(\sqrt{3} - 1)}^{2017}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{x^{2} + m x + m}{x + 1}|$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng 2. Số phần tử của tập S là:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a (mét) với a là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật và trừ đi đường kính của hình bán nguyệt. Gọi d là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định d để diện tích cửa số là lớn nhất

A. $d = \frac{a}{4 + π}$

B. $d = \frac{2 a}{4 + π}$

C. $d = \frac{a}{2 + π}$

D. $d = \frac{2 a}{2 + π}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng $A B = B C = 10 a, A C = 12 a,$ góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và ( ABC) bằng $45 ° .$ Tính thể tích V của khối nón đã cho

A. $V = 9 π a^{3}$

B. $V = 12 π a^{3}$

C. $V = 27 π a^{3}$

D. $V = 3 π a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

$F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{2 x + 1} .$ Biết $F (0) = 0,$ $F (1) = a + \frac{b}{c} \ln 3,$ trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức $a + b + c$ bằng

A. 4

B. 3

C. 12

D. 9

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;π4 và fπ4=0. Biết rằng ta có điều kiện ∫0π4f2xdx=π8;∫0π4f'xsin2xdx=−π4. Tính tích phân I=∫0π8f2xdx.

Cho dãy số un xác định bởi u1=1un+1=un+n3,∀n∈ℕ*. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho un−1≥2039190?

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=x2+mx+mx+1 trên đoạn [1;2] bằng 2. Số phần tử của tập S là:

Cho hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng AB=BC=10a, AC=12a, góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và ( ABC) bằng 45°. Tính thể tích V của khối nón đã cho

Fx là một nguyên hàm của hàm số fx=3x2+12x+1.Biết F0=0,F1=a+bcln3,trong đó a, b, c là các số nguyên dương và bclà phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức a+b+cbằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3}, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases} .$ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190$ ?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{x^{2} + m x + m}{x + 1}|$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng 2. Số phần tử của tập S là:

Cho hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng $A B = B C = 10 a, A C = 12 a,$ góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và ( ABC) bằng $45 ° .$ Tính thể tích V của khối nón đã cho

$F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{2 x + 1} .$ Biết $F (0) = 0,$ $F (1) = a + \frac{b}{c} \ln 3,$ trong đó a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức $a + b + c$ bằng