Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc ${\overrightarrow{v}}_0$ nghiêng một góc $\alpha$ với phương ngang. Lấy $g=10\left(m/s^2\right)$

a. Hãy xác định góc $\alpha$ để tầm xa lớn nhất.

b. Chứng tở rằng tầm xa đạt được như nhau nếu góc nghiêng là $\alpha$ và $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$

a. Chọn hệ quy chiếu Oxy như hình vẽ

Thời điểm ban đầu

Chiếu lên trục ox có

$x_0=0;{v_0}_x=v_{0}cos\alpha =10\sqrt{2}(m/s)$

Chiếu lên trục oy có

$y_0=0;v_{0y}=v_{0}sin\alpha =10\surd 2(m/s)$

Xét tại thời điểm t có $a_x=0;a_y=-g$

Chiếu lên trục ox có

$v_x=10\surd 2(m/s);x=10\surd 2t$

Chiếu lên trục Oy có

$v_y=10\surd 2-10t;y=45+10\surd 2t-5t^2$

$\Rightarrow y=45+x-\frac{x^2}{40}$Vậy vật có quỹ đạo là một Parabol

Khi lên đến độ cao max thì: $v_y=0\Rightarrow 0=10\surd 2-10t\Rightarrow t=\surd 2\left(s\right)$

$H_{max}=y=45+10.\surd 2.\surd 2-5(\surd 2{)}^2=55(m)$

Khi vật chạm đất thì $y=0\Rightarrow 45+10\surd 2t-5t^2=0\Rightarrow t=4,73\left(s\right)$

Vậy sau 4,73s thì vật chạm đất

b. Tầm xa của vật $L=x=10\surd 2.4,73\approx 66,89\left(m\right)$

Vận tốc vật khi chạm đất $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Với $v_y=10\surd 2-10.4,73=33,16(m/s)$

$\Rightarrow v=\surd \left(\right(10\surd 2{)}^2+33,〖16{〗}^2)=36,05(m/s)$

c. Khi vật có độ cao 50 thì

$y=50=45+10\surd 2t-5t^2\Rightarrow t_1=2,414\left(s\right);t_2=0,414\left(s\right)$

Lúc $t_1=2,414\left(s\right)\Rightarrow v_1=10\surd 2-10t_1=10\surd 2-10.2,414\approx -10(m/s)$

Lúc $t_2=0,414\left(s\right)\Rightarrow v_2=10\surd 2-10t_2=10\surd 2-10.0,414\approx 10(m/s)$

Ứng với hai trường hợp vật đi xuống đi lên

Chọn hệ quy chiếu Oxy như hình vẽ

Thời điểm ban đầu

Chiếu lên trục ox có

$x_0=0;v_{0x}=v_0\cos \alpha =20.\frac{1}{2}=10\left(m/s\right)$

Chiếu lên trục oy có:$y_0=0$

$v_{0y}=v_0\sin \alpha =20.\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\left(m/s\right)$

Xét tại thời điểm t có $a_x=0;a_y=-g$

Chiếu lên trục ox có

$v_x=10;x=10t$

Chiếu lên trục oy có: $v_y=10\sqrt{3}-10t;y=10\sqrt{3}t-5t^2$

$\Rightarrow y=\sqrt{3}x-\frac{x^2}{20}$ Vậy quỹ đạo của vật là một parabol

b. khi vật 2s ta có $x=10.2=20\left(m\right)$;$y=10\sqrt{3}.2-{5.2}^2=14,641\left(m\right)$

Vận tốc của vật lức 2s là $v_1=\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2}$

với $v_{1x}=10\left(m/s\right);v_{1y}=10\sqrt{3}-10.2=-2,68\left(m/s\right)$

$\Rightarrow v_1=\sqrt{{\left(10\right)}^2+{\left(-2,68\right)}^2}=10,353\left(m/s\right)$

c. Khi chạm đất $y=0\Rightarrow \sqrt{3}x-\frac{x^2}{20}=0\Rightarrow x=20\sqrt{3}\left(m\right)$

và $10\sqrt{3}t-5t^2=0\Rightarrow t=2\sqrt{3}\left(s\right)$

Vật chạm đất cách vị trí ném là $20\sqrt{3}\left(m\right)$

Vận tốc khi chạm đất $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

với  $v_x=10\left(m/s\right)$;$v_y=10\sqrt{3}-10.2\sqrt{3}=-10\sqrt{3}\left(m/s\right)$

$\Rightarrow v=\sqrt{{10}^2+{\left(-10\sqrt{3}\right)}^2}=20\left(m/s\right)$